Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2.7. KOMPLETHED AF DEN MINIMALKANONISKE OBSERVATOR 19<br />
For den betingede fordeling af X givet t (2) (X) = u får vi<br />
dP ξ(·|t (2) (X) = u)<br />
dP ξ0 (·|t(2) (X) = u) =<br />
=<br />
e (ξ−ξ0)·t(x)<br />
E ξ0 (e(ξ−ξ0)·t(X) |t (2) (X) = u)<br />
e (ξ(1) −ξ (1)<br />
0 )·t(1) (x)<br />
E ξ0 (e(ξ(1) −ξ (1)<br />
0 )·t(1) (x) |t (2) (X) = u)<br />
For en fast værdi af u udgør de betingede fordelinger således en eksponentiel familie.<br />
Denne betingede familie er ikke nødvendigvis fuld, selvom P er fuld.<br />
Ovenfor betragtede vi de første m og sidste k − m koordinater i ξ og t(x). Generelt<br />
kan vi lade A2 være en k × (k − m) matrix af fuld rang k − m. Denne supplerer vi med<br />
A1: k × m så at<br />
A = (A1, A2)<br />
er en invertibel k × k matriks. Da<br />
ξ · t(x) = ξt(x) ∗ = [ξ A ∗−1 ][t(x)A] ∗ ,<br />
kan vi opskrive P som en eksponentiel familie med minimal kanonisk observator<br />
˜t(x) = t(x)A og minimal kanonisk parameter ˜ξ = ξA ∗−1 . Vi har derfor:<br />
Sætning 2.27. Lad P være en regulær familie og lad A være som ovenfor. Så udgør<br />
de marginale fordelinger for ˜t (2) (X) = t(X)A2 i delmodellen med ˜ξ (2) fast en regulær<br />
eksponentiel familie. <br />
Bemærkning 2.28 Hvis vi betragter en delmodel givet ved {P ξ|ξ ∈ ˜Λ}, hvor ˜Λ ⊂ Λ<br />
er åben, vil det kanoniske parameterområde for de marginale fordelinger af t(X)A2<br />
under ˜ξ (2) fast også være åben. Når det kanoniske parameterområde er åbent, taler vi<br />
om en åben eksponentiel familie.<br />
2.7 Komplethed af den minimalkanoniske observator<br />
For en general klasse P af sandsynlighedsmål på målrummet (X , A), og en generel<br />
observator t : (X , A) → (Y, B) med værdier i målrummet (Y, B), skal jeg nu definere<br />
komplethed. Intuitivt skal vi formalisere, at klassen P er stor nok <strong>til</strong>, at en funktion er<br />
entydigt fastlagt ud fra dens middelværdier under P, P ∈ P.<br />
Definition 2.29 Observatoren T = t(X) siges at være komplet under P (henholdsvis<br />
begrænset komplet) hvis der for enhver funktion f : (Y, B) → (R, B(R)) (henholdsvis<br />
enhver begrænset funktion) med<br />
<br />
EP f (T) = f (t(x))P(dx) = 0 ∀ P ∈ P,<br />
gælder at<br />
f (t(x)) = 0 n.s. − P for alle P ∈ P.