Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

More documents

Recommendations

Info

2.7. KOMPLETHED AF DEN MINIMALKANONISKE OBSERVATOR 19 For den betingede fordeling af X givet t (2) (X) = u får vi dP ξ(·|t (2) (X) = u) dP ξ0 (·|t(2) (X) = u) = = e (ξ−ξ0)·t(x) E ξ0 (e(ξ−ξ0)·t(X) |t (2) (X) = u) e (ξ(1) −ξ (1) 0 )·t(1) (x) E ξ0 (e(ξ(1) −ξ (1) 0 )·t(1) (x) |t (2) (X) = u) For en fast værdi af u udgør de betingede fordelinger således en eksponentiel familie. Denne betingede familie er ikke nødvendigvis fuld, selvom P er fuld. Ovenfor betragtede vi de første m og sidste k − m koordinater i ξ og t(x). Generelt kan vi lade A2 være en k × (k − m) matrix af fuld rang k − m. Denne supplerer vi med A1: k × m så at A = (A1, A2) er en invertibel k × k matriks. Da ξ · t(x) = ξt(x) ∗ = [ξ A ∗−1 ][t(x)A] ∗ , kan vi opskrive P som en eksponentiel familie med minimal kanonisk observator ˜t(x) = t(x)A og minimal kanonisk parameter ˜ξ = ξA ∗−1 . Vi har derfor: Sætning 2.27. Lad P være en regulær familie og lad A være som ovenfor. Så udgør de marginale fordelinger for ˜t (2) (X) = t(X)A2 i delmodellen med ˜ξ (2) fast en regulær eksponentiel familie. Bemærkning 2.28 Hvis vi betragter en delmodel givet ved {P ξ|ξ ∈ ˜Λ}, hvor ˜Λ ⊂ Λ er åben, vil det kanoniske parameterområde for de marginale fordelinger af t(X)A2 under ˜ξ (2) fast også være åben. Når det kanoniske parameterområde er åbent, taler vi om en åben eksponentiel familie. 2.7 Komplethed af den minimalkanoniske observator For en general klasse P af sandsynlighedsmål på målrummet (X , A), og en generel observator t : (X , A) → (Y, B) med værdier i målrummet (Y, B), skal jeg nu definere komplethed. Intuitivt skal vi formalisere, at klassen P er stor nok til, at en funktion er entydigt fastlagt ud fra dens middelværdier under P, P ∈ P. Definition 2.29 Observatoren T = t(X) siges at være komplet under P (henholdsvis begrænset komplet) hvis der for enhver funktion f : (Y, B) → (R, B(R)) (henholdsvis enhver begrænset funktion) med EP f (T) = f (t(x))P(dx) = 0 ∀ P ∈ P, gælder at f (t(x)) = 0 n.s. − P for alle P ∈ P.
20 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER Observation 2.30 Hvis T er komplet, så er T også begrænset komplet. Observation 2.31 Hvis T er komplet, så er også ˜T = g(T) komplet, hvor g er en målelig afbildning fra Y til ˜Y. Bevis. Antag, at EP f ( ˜T) = EP f (g(T)) = 0 for alle P ∈ P. Heraf følger, at f (g(t(x))) = f (˜t(x)) = 0 n.s.-P for alle P ∈ P. Sætning 2.32. Lad P = {P ξ|ξ ∈ Λ0} være en eksponentiel familie på minimal form dP ξ dµ (x) = a(ξ)b(x)eξ·t(x) , x ∈ X , ξ ∈ Λ0 ⊆ R k . Vi antager ikke her, at Λ0 er det fulde parameter område. Hvis intΛ0 = ∅, er T = t(X) komplet under P = {P ξ|ξ ∈ Λ0}. Bevis. Lad ξ0 ∈ Λ0 og lad f : R k → R opfylde 0 = a(ξ)b(x)e ξ·t(x) f (t(x))µ(dx) = a(ξ) a(ξ0) e (ξ−ξ0)·t(x) f (t(x))Pξ0 (dx), (2.25) for alle ξ ∈ Λ0. Lad f + (t) = f (t)1( f (t) > 0) og f − (t) = − f (t)1( f (t) < 0), og definer de to mål ν + og ν − på (R k , B(R k )) ved dν + dPξ0T (t) = f + (t) og dν− (t) = f dPξ0T − (t). Disse to mål er endelige, idet f er P ξ-integrabel for alle ξ ∈ Λ0. Så viser (2.25), at e (ξ−ξ0)·t + ν (dt) = e (ξ−ξ0)·t ν − (dt) ∀ ξ ∈ Λ0. Denne ligning siger, at Laplacetransformerne for de to mål ν + og ν − stemmer overens på Λ0 − ξ0. Da int(Λ0 − ξ0) = ∅ følger det af JHJ, afsnit 4.19, at ν + = ν − . Dette giver til gengæld, at f + (t) = f − (t) n.s. − P ξ0T, og dermed fra definitionen af f + og f − , at Observationen 2.2 giver så, at f (t) = 0 n.s. − P ξ0T. f (t(x)) = 0 n.s. − P ξ for alle ξ ∈ Λ0. Eksempel 2.33. Lad X være binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter θ. Så siger sætningen ovenfor, at hvis E θ f (X) = 0 ∀ 0 < θ < 1,
Page 1 and 2: E T F Ø R S T E K U R S U S I T E
Page 3 and 4: 6 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIE
Page 5 and 6: 8 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIE
Page 7 and 8: 10 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILI
Page 15: 18 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILI
Page 23 and 24: 136 KAPITEL 11. NOTATION OG REGNERE
Page 25 and 26: 138 KAPITEL 11. NOTATION OG REGNERE
Page 28 and 29: Indeks A Affin uafhængighed . . .

Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?