Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

18 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER
Hvis P er fuld, er P 0T (2) også fuld, idet
exp[α · v]P ξ0T (2)(dv) = E ξ0 exp[α · t(2) (X)] = E ξ0 exp[0 · t(1) (X) + α · t (2) (X)]
som er endelig, hvis og kun hvis (0, α) = ξ − ξ0 for et eller andet ξ ∈ Λ, d.v.s. α = ξ (2) −
ξ0 (2) for ξ ∈ Λ, og vi får netop klassen P 0T (2). Hvis Λ er åben, er {α|ξ0 + (0, α) ∈ Λ} en
åben mængde i R k−m , d.v.s. hvis P er regulær, er P 0T (2) også regulær.
Vi vender os nu mod de betingede fordelinger.
Observation 2.25 Lad P og Q være to sandsynlighedsmål på (X , A) med Q ≪ P. Lad
(Y, B) være et andet målrum og lad t : X → Y være en målelig afbildning. Definer
f (x) = dQ
(x), g(t) =
dP
Så gælder der at Q(·|t) ≪ P(·|t) og
dQ(·|t)
(x) =
dP(·|t)
f (x)P(dx|t), D = {t|0 < g(t) < ∞}.
⎧
⎨
f (x)
g(t)
t ∈ D
⎩
1 t /∈ D.
Bemærk at PT({t|g(t) = ∞}) = 0 og dermed også QT({t|g(t) = ∞}) = 0. Desuden
har vi fra Observation 2.24 også at QT({t|g(t) = 0}) = 0. Vi har altså at QT(D c ) = 0.
Bevis. Se afsnit 11.4.
Eksempel 2.26.
Lad Q være fordelingen for (X1, . . . , Xn), hvor X-erne er uafhængige og
Q(X i = 1) = 1 − Q(X i = 0) = θ,
og lad P være den tilsvarende fordeling med θ = 1/2. Med U = X1 + · · · + Xn er
og
Fra Observation 2.25 får vi
dQ(·|U = u)
(x) =
dP(·|U = u)
dP
(x) =
d♯n
1
n ,
2
dQ
d♯ n (x) = θu (1 − θ) n−u ,
dQ
dP (x) = 2n θ u (1 − θ) n−u .
2 n θ u (1 − θ) n−u
EP(2 n θ u (1 − θ) n−u |U = u) =
2 n θ u (1 − θ) n−u
2 n θ u (1 − θ) n−u EP(1|U = u)
hvilket viser at den betingede fordeling af (X1, . . . , Xn) givet U = u er den samme
uanset værdien af θ.
= 1,