Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

2.6. MARGINALE OG BETINGEDE FORDELINGER 17
Eksempel 2.23 (Normalfordelingen).
I eksempel 2.14 så vi at normalfordelingerne med middelværdi µ og varians σ 2 med
(µ, σ 2 ) ∈ R × R+ udgør en regulær eksponentiel familie. Den kanoniske observator er
t(x) = (x, x 2 ) og støtten for T er
Den konvekse støtte for T er derfor
{(x, y) ∈ R 2 |y = x 2 }.
Ct = {(x, y) ∈ R 2 |y ≥ x 2 }.
Da ethvert punkt (x, x 2 ) er på randen af Ct vil maksimum likelihood estimaterne for
(µ, σ 2 ) eller ξ = (µ/σ 2 , −1/(2σ 2 ) ikke eksistere når vi blot har én observation. Når vi
istedet har n > 1 observationer x1, . . . , xn eksisterer maksimum likelihood estimaterne
med sandsynlighed 1. Dette er fordi
1
n
n
∑
i=1
(x i, x 2 i
1
) =
n (x1, x 2 1
1 ) + · · · +
n (xn, x 2 n) ∈ int Ct
hvis der blot er to observationer der er forskellige. Udsagnet følger af at x → x 2 er en
strengt konveks kurve og derfor vil en konveks kombination af forskellige punkter på
denne kurve ikke ligge på kurven.
2.6 Marginale og betingede fordelinger
Vi betragter igen en fuld eksponentiel familie med minimal repræsentation (2.11). Lad
ξ = (ξ (1) , ξ (2) ) og t(x) = (t (1) (x), t (2) (x)) være en opsplitning i de første m og de sidste
(k − m) koordinater med 1 ≤ m < k. Hvad kan vi sige om de marginale fordelinger
for t (2) (X) og de betingede fordelinger af t (1) (X) givet t (2) (X)?
Observation 2.24 Der gælder generelt følgende formel for marginale tætheder
dQU
dQ
(u) = EP (X) | U = u .
dPU
dP
Bevis. Se afsnit 11.4.
Benyttes denne for den marginale tæthed for t (2) (X) fås
dPξT (2)
dPξ0T (2)
dPξ
(v) = Eξ0 dPξ0 = c(ξ0)
c(ξ) E
ξ0 exp
(X) | t (2)
(X) = v
(ξ (1) − ξ (1)
0 ) · t(1) (X)
| t (2)
(X) = v exp
(ξ (2) − ξ (2)
0
(2.24)
) · v .
Hvis vi ser på delklassen P0 = {P ξ|ξ ∈ Λ0} med Λ0 = {(ξ (1) , ξ (2) )|ξ (1) = ξ (1)
0 }, er
(2.24) på formen (2.1), og de marginale fordelinger af t (2) (X) udgør en ekponentiel
familie P 0T (2).