Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

16 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER
Den næste sætning angiver jeg uden bevis.
Sætning 2.20. For en fuld eksponentiel familie med minimal repræsentation (2.11)
gælder, at
(i) t ∈ intCt ⇒ l(ξ; t) har entydigt bestemt maksimumspunkt ˆξ(t),
(ii) t /∈ intCt ⇒ l(ξ; t) antager ikke sit supremum for ξ ∈ Λ ,
(iii) t ∈ τ(intΛ) ⊆ intCt ⇒ ˆξ(t) er den entydigt bestemte løsning til ligningen τ(ξ) =
t, med ξ ∈ intΛ.
Bemærkning 2.21 Hvis t ∈ intCt\τ(intΛ), så skal det entydigt bestemte ˆξ(t) findes på
randen af Λ. Et eksempel til belysning af situationen i Sætning 2.20 er tætheden
1
exp(−|x| + θx − κ(θ)),
1 + x4 hvor Ct er hele R og τ(int Λ) er et endeligt interval.
Jeg slutter dette afsnit med at se på situationen med n uafhængige og identisk fordelte
variable X1, . . . , Xn, hvor fordelingen tilhører den eksponentielle familie (2.11).
Den simultane tæthed er
dPn ξ
dνn (x1, . . . , xn) = c(ξ) −n
exp ξ ·
d.v.s. at vi har igen en eksponentiel familie af orden k idet :
n
∑
1
t(xi) ,
Observation 2.22 Hvis 1, t1(x), . . . , t k(x) er lineært uafhængige n.s.−ν, så er også 1,
∑ n 1 t1(x i), . . . , ∑ n 1 t k(x i) lineært uafhængige n.s.−ν n .
Bevis.
⇓
⇓
n
c0 + c1 ∑
1
t1(x i) + · · · + c k
n
∑
1
t k(x i) = 0 n.s. − ν n
∃ x2, . . . , xn så at der n.s-ν mht. x1 gælder:
n
n
c0 + c1 t1(xi) + · · · + ck tk(xi) + c1t1(x1) + · · · + cktk(x1) = 0
∑ 2
∑ 2
c k = · · · = c1 = c0 = 0.
Log likelihood funktionen er
ln(ξ) = ξ ·
n
∑
1
t(x i) − nκ(ξ) = nl(ξ; ¯t)
med ¯t = ∑ t(x i)/n, og hvor l(ξ; t) er givet i (2.19). Estimation baseret på x1, . . . , xn er
derfor som før med t erstattet af ¯t, og resultaterne fra Sætningerne 2.18 og 2.20 kan
bruges.