Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

14 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER
Laplacetransformen for T under lebesguemålet er
c(ξ) = exp{ξ1x + ξ2x
R
2 }dx
= exp − 1
4 ξ2 1 /ξ2
exp ξ2 x − 1
2 ξ1/(−ξ2)
2 dx
=
R
π/(−ξ2) exp{− 1
4 ξ2 1 /ξ2}.
Kumulanttransformen er derfor κ(ξ) = − 1 4 ξ2 1 /ξ2 − 1 2 log(−ξ2/π). Fra (2.17) får vi
EξX = −ξ1
, EξX 2ξ2
2 = ξ2 1
4ξ2 −
2
1
.
2ξ2
Med ξ = (ξ1, ξ2) = (µ/σ 2 , −1/(2σ 2 )) bliver formlerne
E (µ,σ 2 ) X = − µ(−2σ2 )
2σ 2 = µ, E (µ,σ 2 ) X2 = µ2 (4σ 4 )
4σ 4
−2σ2
−
2 = µ2 + σ 2 .
Det er sommetider muligt at vise, at en familie er fuld ved hjælp af følgende resultat.
Observation 2.15 Lad Λ0 være et åbent område i R k . Hvis der for ethvert punkt ξ1 på
randen af Λ0 gælder, at der eksisterer ξ0 ∈ Λ0, så at
c(ξ) → ∞,
for ξ → ξ1 langs liniestykket fra ξ0 til ξ1, så vil Λ0 = Λ.
Bevis. Vi vil vise, at c(ξ1) = ∞ for alle punkter ξ1 på randen af Λ0. Så følger det
fra sætning 2.9 at Λ ikke kan være større end Λ0 (hvis ˜ξ ∈ Λ \ Λ0 så vil der, da Λ
er konvekst, findes ξ1 ∈ Λ med ξ1 på randen af Λ0, men dette er en modstrid med
c(ξ1) = ∞). Vi laver et modstridsbevis. Antag at c(ξ1) < ∞. Så fra (2.13) har vi med
ξ = αξ1 + (1 − α)ξ0, 0 < α < 1,
c(ξ) ≤ c(ξ1) α c(ξ0) 1−α ≤ max{c(ξ1), c(ξ0)},
hvilket er en modstrid med, at c(ξ) → ∞. Altså er c(ξ1) = ∞.
Bemærkning 2.16 Observation 2.15 bruges på den måde, at for ξ ∈ Λ0 har vi, at ξ =
ϕ(θ) for et θ ∈ Θ og dermed
c(ξ) = a(θ) −1 .
Hvis derfor a(θ) går mod nul for θ gående mod randen af Θ, og Λ0 er åbent i R k , vil
familien være fuld.
Det næste lemma viser, at Observation 2.15 har en invers: hvis c(ξ) → ∞ for ξ
gående mod randen af Λ0, så vil familien ikke være fuld.
Lemma 2.17 Lad ξ /∈ Λ og lad ξn ∈ Λ med ξn → ξ for n → ∞. Så vil c(ξn) → ∞.
Bevis. Da exp{ξn · t(x)} ≥ 0, siger Fatou’s lemma (JHJ 3.5), at
∞ = c(ξ) = lim inf exp{ξn · t(x)}ν(dx)
n
≤ lim inf exp{ξn · t(x)}ν(dx)
n
= lim inf c(ξn),
n
hvilket viser resultatet.