Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

2.4. LAPLACE- OG KUMULANTTRANSFORM 13
Bemærkning 2.12 Bemærk, at Sætning 2.11 er et eksempel på, at vi må differentiere
ind under integraltegnet.
Benyttes Sætning 2.11 får vi følgende vigtige relationer for ξ ∈ intΛ,
τ(ξ) := Eξt(X) = ∂κ
(ξ) (2.17)
∂ξ
V(ξ) := Var ξ(t(X)) = ∂2 κ
∂ξ∂ξ
Desuden har vi fra Observation 2.7, at hvis t(·) opfylder (2.5), så er
∂τ
(ξ) = (ξ) (2.18)
∗ ∂ξ∗ Var ξ(t(X)) positiv definit for ξ ∈ intΛ. (2.19)
Observation 2.13 Antag at t(·) opfylder (2.5). Hvis ξ1, ξ2 ∈ intΛ og ξ1 = ξ2, så er
τ(ξ1) = τ(ξ2).
Bevis.
(ξ2 − ξ1) · {τ(ξ2) − τ(ξ1)} = (ξ2 − ξ1) ·
=
1
0
1
0
dτ(ξ1 + s(ξ2 − ξ1))
ds
ds
(ξ2 − ξ1)V(ξ1 + s(ξ2 − ξ1))(ξ2 − ξ1) ∗ ds > 0
ifølge (2.19).
Eksempel 2.14 (Normalfordelingen).
Lad X være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2 med (µ, σ 2 ) ∈ R × R+.
Så er tætheden med hensyn til lebesguemålet m givet ved
dP (µ,σ2 )
(x) =
dm
1
√ 2πσ 2
µ2 µ
exp{− } exp
2σ2 σ
2σ
1
x − x2
2 2
for x ∈ R. Dette er en eksponentiel familie med t(x) = (x, x2 ) og ϕ(µ, σ2 ) = ( µ
σ2 , − 1
2σ2 ).
I dette tilfælde er
Λ0 = R × R−,
og da området har ikke tomt indre er (2.4) opfyldt. Støtten for T er
{(x, x 2 )|x ∈ R},
eftersom enhver kugle omkring (z, z 2 ) vil indeholde et interval af x-værdier, og dermed
have positiv sandsynlighed. Da støtten ikke er indeholdt i et affint underrum af
R 2 , er (2.5) opfyldt, og vi har vist, at repræsentationen er minimal. Vi vil nu undersøge,
om familien er fuld. Vi skal da undersøge, hvornår integralet
R
exp ξ1x + ξ2x 2 dx
er endeligt. Hvis ξ2 ≥ 0 vil integranten gå mod uendelig for x gående mod enten +∞
eller −∞ og integralet er ikke endeligt. Tilbage er området Λ0 og vi har derfor vist at
Λ = Λ0, det vil sige at familien er fuld. Da Λ også er åben er familien regulær.
,