Meddelelse 3 - Aarhus Universitet

Institut for Matematiske Fag STATISTIK(2003-ordning)
Aarhus Universitet Jens Ledet Jensen
Jørgen Granfeldt
9. februar 2006
Forelæsningerne i uge 6 (6.2–12.2)
Meddelelse 3
Ved forelæsningen mandag den 6. februar gennemgik jeg Kapitel 4 Betingede sandsynligheder
og uafhængighed hændelser.
Onsdag den 8. februar begyndte jeg på Kapitel 5 Stokastiske variable og nåede til og med
Eksempel 5.2 om binomialfordelingen.
Fredag den 10. februar når jeg et stykke ind i Afsnit 5.3 om Kontinuerte stokastiske variable.
Et Resumé af emnerne fra denne uge er vedhæftet
Forelæsningerne i uge 7 (13.2–19.2)
Gennemgangen af Kapitel 5 i BPT fortsættes frem til og med Afsnit 5.6. Dernæst gennemgås
Kapitel 6 inden vi vender tilbage til Afsnit 5.7.
Øvelserne i uge 7
(13.2–19.2) Opgaverne 4, 5, 6, 8, 11, 12 (den del der vedrører de stokastiske variable R og Z),
13 samt første spørgsmål i opgave 15.
Øvelserne i uge 8
(20.2–26.2) Først regnes eventuelt resterende opgaver fra sidste gang. Dernæst regnes opgave
43, anden halvdel af opgave 15 samt opgaverne 16–22 i Opgaver i sandsynlighedsregning.
Afleveringsopgaver
(uge 7) Opgave 7
(uge 8) Den del af opgave 12, der vedrører de stokastiske variable S og Y .
(uge 9) Opgave 25
Meddelelser som denne udleveres hver uge ved forelæsningen om fredagen.
De kan desuden findes via kursushjemmesiden:
http://www.imf.au.dk/kurser/statistik-2003ord/F06/
1

Udlån af SAS
Det er vigtigt at I udfylder den seddel med diverse oplysninger i forbindelse med lån af SAS.
Vi lovet SAS at give dem de oplysninger.
Derfor skal SAS CDerne en tur omkring Michael inden næste udlån.
Videresendelse af email fra IMF
På nogen hold – men ikke alle – har man fået følgende oplysning:
Hvis I ikke regelmæssigt læser jeres post på IMF, kan I få den videresendt automatisk til den
mailadresse, som i bruger regelmæssigt.
Hvis bruger ønsker at få posten videresendt til for eksempel fornavn.bagnavn@post.au.dk,
skal han/hun lave en fil ved navn .forward i sit hjemkatalog, med følgende indhold:
fornavn.bagnavn@post.au.dk
\bruger
Det vil få posten videresendt til adressen fornavn.bagnavn@post.au.dk og \bruger vil sikre,
at der gemmes en kopi på IMF-systemet. Hvis man er ligeglad med det, kan man undlade
linjen \bruger.
Ugens StatiStikpille:
Statistik er som en gammeldags gadelygte. Ikke særligt oplysende, men god at støtte sig til.
2
Robert Storm Petersen

Betingede sandsynligheder og uafhængighed af hændelser
Chapter 4 side 13
Betinget sandsynlighed (conditional probability) Definition 4.1 side 13
Hvis P(B) > 0 kaldes
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
den betingede sandsynlighed af A givet B (conditional
probability of A given B).
Uafhængighed af hændelser (independence of events)
A og B er uafhængige (independent) hvis
Der gælder:
Definition 4.2 side 14:
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
A og B er uafhængige ⇔ P(A|B) = P(A)
A1,...,An er indbyrdes uafhængige (mutually independent) hvis
hvor {i1,...,ij} ⊆ {1,2,...,n}, j = 2,...,n
Eksempler
Example 4.1 side 14
P(Ai1 ∩ ··· ∩ Ai j ) = P(Ai1 )···P(Ai j ),
R.11
A
A∩B
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
B

Regneregler side 18
Omvendt betinget sandsynlighed Hvis de tre størrelser P(A) > 0, P(B) > 0 og P(A|B) alle er
kendte er
P(B|A) = P(A|B)P(B)
P(A)
Hvis B1,...,Bn er en disjunkt opdeling
af E, dvs.
n
Bi = E, og Bi ∩ B j = /0, i = j
i=1
og P(Bi) > 0 og P(A|Bi), i =
1,...,n, alle er kendte, er
og
P(A) =
n
∑
i=1
P(A|Bi)P(Bi)
P(Bk |A) = P(A|Bk)P(Bk)
∑ n i=1 P(A|Bi)P(Bi)
(Bayes formel)
Eksempler
Example 4.2 side 16 og 19
Example 4.3 side 17 og 19
E
R.12
B B B
…
1 2 3 n
A
B

Uafhængige gentagelser af et eksperiment side 20
eksperiment nr: 1 ··· i ··· n
sandsynlighedshedsrum: (E,F,P) ··· (E,F,P) ··· (E,F,P)
Under ét beskrives gentagelserne ved sandsynlighedsrummet (E n ,F n ,P n ), hvor
udfaldsrum:
E n = E × ··· × E × ··· × E = {(e1,...,ei,...,en) : ei ∈ E, i = 1,...,n}
samling af delmængder F n , mindste samling af delmængder af E n , som er lukket under dannelse
af komplementærmængde og uendelig foreningsmængde og fællesmængde og som indeholder
alle mængder af formen
A1 × ··· × Ai × ··· × An = {(e1,...,ei,...,en) : ei ∈ Ai ∈ F, i = 1,...,n}
sandsynlighedsmål P n givet ved
P n (A1 × ··· × Ai × ··· × An) = P(A1)···P(Ai)···P(An)
Begrundelse for navnet uafhængige gentagelser
P n (E × ··· × E × Ai × E × ··· × E) = P(Ai)
E × ··· × E × Ai × E × ··· × E ∼ Ai
Under P n er hændelserne E ×···×E ×Ai ×E ×···×E, i = 1,...,n, uafhængige, det vil sige at
efter identifikationen af E × ··· × E × Ai × E × ··· × E med Ai er hændelserne Ai, i = 1,...,n,
uafhængige.
R.13

Example 4.4 side 21
Lad B1,...,Bk være en disjunkt opdeling
af E,
k
E = B j, Bi ∩ B j = /0, i = j
j=1
dvs. én og kun én af følgende hændelser
observeres
hændelse: B1 ··· B j ··· Bk
sandsynlighed: π1 ··· π j ··· πk
k
∑ π j =
j=1
k
∑ P(B j) = P(E) = 1
j=1
π = (π1,...,πk) sandsynlighedsvektor
som tilhører
Πk = {π : π j > 0, j = 1,...,k,
k
∑ π j = 1}
j=1
n uafhængige gentagelser af forsøget
Example 5.9 side 47
E
B B B
…
1 2 3 k
udfald: B j1 , ··· ,B ji , ··· ,Bjn
sandsynlighed: π j1 × ··· ×π ji × ··· ×π jn
Xj : antal gange B j observeres i de n gentagelser. X = (X1,...,Xj,...,Xk)
P(X = x) =
n!
x1!···xk! πx1
1 ···πxk k
X ∼ m(n,π)
R.14
B

Resume
Stokastisk variabel (random variable) Section 5.1 side 24
Definition 5.1 side 24
Lad (E,F,P) være et sandsynlighedsrum.
En afbildning X fra E ind i R,
X : E → R
e → X(e)
kaldes en stokastisk variabel hvis
{e ∈ E | X(e) ≤ x} ∈ F, for alle x ∈ R.
Vi bruger {X ≤ x} som forkortelse for
{e ∈ E | X(e) ≤ x}.
Fordelingsfunktion (distribution function)
Definition 5.2 side 24
Funktionen F fra R ind i [0,1] givet ved
F : R → [0,1]
x → F(x) = P(X ≤ x)
kaldes fordelingsfunktionen for X. Helt præcist
er F(x) = P({e ∈ E | X(e) ≤ x}).
Egenskaber ved F
Theorem 5.1 side 25
a) F(x) ∈ [0,1], x ∈ R
b) F er voksende: x1 < x2 ⇒ F(x1) ≤ F(x2)
c) F(x) → 0 og F(x) → 1
x→ −∞ x→ ∞
d) F er højrekontinuert, F(x) = F(x+)
E
R.15
•e
IR
X [
x
•X
( e )
Springet af F i x = −1 er P(X = −1).
Theorem 5.2 side 26
a) P(X ∈ ]a,b]) = F(b) − F(a)
b) P(X = x) = F(x) − F(x−)

Typer af stokastiske variable
Vi skal kun betragte to typer af stokastiske variable, nemlig diskrete (discrete), Section 5.2 side
28, og kontinuerte (continuous), Section 5.3, side 38.
Fraktiler (Definition 5.3 side 28) For p ∈ [0,1] defineres p-fraktilen (p-fractile) for F som
mængden
xp = {x ∈ R | F(x−) ≤ p ≤ F(x)}
Udvalgte fraktiler for fordelingsfunktionen F: x0.05 = −2.5, x0.3 = x0.4 = −1.0 og x0.9214 =
[1,2].
I statistik bruges følgende resultat (Theorem 5.3b, side 28):
Antag, at Y har fordelingsfunktionen FY samt af X = α +βY (β > 0). Fordelingsfunktionen FX
for X er
x − α
FX(x) = FY(
β )
og sammenhængen mellem fraktilerne xp og yp for X og Y er
yp = xp − α
β
= { x − α
β
R.16
| x ∈ xp}.

Diskrete stokastiske variable Section 5.2 side 29
Definition 5.4 En stokastisk variabel X siges
at være diskret (discrete) hvis dens fordelingsfunktion
F er en trappefunktion med
endeligt eller tælleligt mange spring.
Definition 5.5 Sandsynlighedsfunktionen
(probability function) f for en diskret stokastisk
variabel X, hvis fordelingsfunktion F
har spring i {xi | i ∈ I}, er defineret ved
f : R → [0,1]
x → f(x),
hvor
⎧
⎨ P(X = xi), hvis x = xi
f(x) =
⎩
0, ellers.
Egenskaber ved f
(Theorem 5.4 side 31) Sandsynlighedsfunktionen f for en diskret stokastisk variabel X har de
følgende tre egenskaber:
i) f(x) ≥ 0, x ∈ R
ii) Mængden {x ∈ R | f(x) = 0} er en endelig eller tællelig delmængde af R
iii) ∑ f(xi) = 1
i∈I
Endvidere kan sandsynligheden P(X ∈ A) for hændelsen {X ∈ A}, hvor A ⊆ R, beregnes som
P(X ∈ A) = ∑
{i∈I;xi∈A}
f(xi) (2.21)
Endelig gælder der, at givet en funktion f , der opfylder de tre betingelser, findes der en diskret
stokastisk variabel X, så f er sandsynlighedsfunktionen for X.
R.17

Kontinuerte stokastiske variable Section 5.3 side 38
Definition 5.6 En stokastisk variabel X siges
at være kontinuert (continuous) hvis der
findes en integrabel funktion
f : R → [0,∞[
x → f(x),
så fordelingsfunktionen F for X er givet ved
F(x) =
x
−∞
f(z)dz, x ∈ R. (5.19)
Funktionen f kaldes tæthedsfunktionen
(density function) for X. (Sammenhængen
mellem F og f er illustreret i Figure 5.7)
Egenskaber ved f
(Theorem 5.5 side 38) Tæthedsfunktionen f for en kontinuert stokastisk variabel X har de
følgende to egenskaber:
i) f(x) ≥ 0, x ∈ R
ii) ∞
−∞
f(x)dx = 1
Endvidere kan sandsynligheden P(X ∈ A) for hændelsen {X ∈ A}, hvor A ⊆ R er en Borel
mængde, beregnes som
P(X ∈ A) = f(x)dx (5.22)
Endelig gælder der, at givet en funktion f , der opfylder de to betingelser, findes der en kontinuert
stokastisk variabel X, så f er tæthedsfunktionen for X.
R.18
A

Fortolkning af f
Hvis Ix er et lille interval af længde Δx omkring
x er
(se Figure 5.8)
P(X ∈ Ix) ≈ f(x)Δx
Flere egenskaber vedrørende kontinuerte stokastiske variable
a) F er kontinuert
b) P(X = x) = 0, for alle x ∈ R (5.20)
c) Hvis f er kontinuert i x, gælder der at f(x) = F ′ (x) (5.21)
R.19

Stokastiske variable Section 5.2 og 5.3
E
•
e
FX(x) = P(X ≤ x)
IR
X [
x
•
X ( e )
diskret stokastisk variabel kontinuert stokastisk variabel
FX trappefunktion FX kontinuert
med spring i {xi | i ∈ I}
fX sandsynlighedsfunktion fX tæthedsfunktion
angiver størrelsen af springene for FX
i) fX(x) ≥ 0, x ∈ R
ii) {x ∈ R | fX(x) = 0} endelig eller tællelig
iii) ∑ fX(xi) = 1
i∈I
FX(x) = x
−∞
fX(z)dz
i) fX(x) ≥ 0, x ∈ R
∞
ii) fX(x)dx = 1
diskrete fordelinger kontinuerte fordelinger
binomial (Example 5.2 side 32) uniform (Example 5.6 side 41)
Poisson (Example 5.3 side 33) normal (Example 5.7 side 41)
geometrisk (Example 5.4 side 35) gamma (Example 5.8 side 44)
hypergeometrisk (Example 5.5 side 35) eksponential
χ 2
R.20
−∞