Perspektiver i Matematikken

FORELÆSNINGERNE
Perspektiver i Matematikken
Ugeseddel 3
8. september 2004
Ved forelæsningerne nåede vi tirsdag den 7. september frem til og med Eksempel 33 i lærebogen.
Ved de følgende forelæsninger fortsætter vi i lærebogen, idet vi dog springer Kapitel 7 over.
Torsdag den 9. september når vi nok frem til Lemma 39, og tirsdag den 14. september til og med
Lemma 41.
BEMÆRKNINGER TIL LÆREBOGEN
Side 39: I linje 13 skal det hele tal f vælges positivt, idet udtrykket (x e ) f ellers ikke har mening.
Derudover er der regnefejl i Eksempel 36.
Flere oplysninger om Eulers φ-funktion mm. kan man finde i bøger om talteori, som f.eks. monografien
Tom M. Apostol: "Introduction to Analytic Number Theory." Springer-Verlag. New
York, Heidelberg, Berlin. 1976. Eksempelvis (Theorem 2.5, side 28, i Apostols bog):
Sætning. Eulers totient funktion φ har bl.a. følgende egenskaber:
(a) φ(p m ) = p m − p m−1 , når p er et primtal og m ∈ N.
(b) φ(mn) = φ(m)φ(n), hvis m,n ∈ N er indbyrdes primiske.
ØVELSER I UGEN 13.9–19.9
Opgave 1 (Opvarmning). Lad n ∈ N.
(a) Antag, at a ≡ a ′ og b ≡ b ′ mod n. Vis, at a + b ≡ a ′ + b ′ mod n.
(b) Antag, at a ≡ a ′ og b ≡ b ′ mod n. Vis, at ab ≡ a ′ b ′ mod n.
(c) Antag, at ai ≡ a ′ i og bi ≡ b ′ i
mod n for i = 1,2,... ,N. Vis, at
a1b1 + a2b2 + · · · + aNbN ≡ a ′ 1 b′ 1 + a′ 2 b′ 2 + · · · + a′ N b′ N
mod n.
Opgave 2 (Opvarmning). Lad n ∈ N, og lad a,b ∈ Z. Antag, at [a] = [b], hvor [a] betegner
den kongruensklasse modulo n, der indeholder a; tilsvarende for [b].
Vis, at gcd(a,n) = gcd(b,n).
Opgave 3. Vi minder om, at tværsummen af et naturligt tal er summen af dets cifre. F.eks. er
tværsummen af 12345 lig med 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Lad os mere generelt se på tallet
anan−1 · · · a1a0 = n
i=0 ai10 i , hvor a0,a1, · · · ,am er cifre, dvs ai ∈ {0,1,... ,9}. Dets tværsum
er an + an−1 + · · · + a1 + a0.
(a) Vis, at et naturligt tal er deleligt med 3, hvis og kun hvis dets tværsum er delelig med 3.
(b) Vis, at et naturligt tal er deleligt med 9, hvis og kun hvis dets tværsum er delelig med 9.
(c) Lad n være et naturligt tal. Lad m være et tal, der fremkommer ved, at du bytter rundt på
cifrene i n. Vis, at n − m er et multiplum af 9.
Opgave 4. (a) Hvad er resten af 10 n efter division med 11?

(b) Find resten af 654321 efter division med 11.
(c) Et naturligt tal siges at være palindromisk, hvis det er ens, hvad enten det læses forfra eller
bagfra (Mere præcist burde man sige, at det er palindromisk i base 10 repræsentationen).
Vis, at ethvert palindromisk tal med et lige antal cifre er deleligt med 11.
Opgave 5. Lad
a =
N
i=1
p ki
i
og b =
hvor p1,p2,...,pN er forskellige primtal, og ki,li ∈ N ∪ {0} for i = 1,2,... ,N.
Betegnelsen (det græske bogstav stort pi) betyder produkt, så
Således er f.eks.
a =
N
i=1
p li
i ,
N
ai = a1a2 · · · aN−1aN.
i=1
N
i=1
p ki
i
= pk1 1 pk2 2 · · · pkN−1
N−1 pkN
N .
Helt tilsvarende betegner (det græske bogstav stort sigma) en sum, så
(a) Vis, at
(b) Hvornår er gcd(a,b) = 1?
N
ai = a1 + a2 + · · · + aN−1 + aN.
i=1
gcd(a,b) =
N
i=1
p mi
i , hvor mi = min{ki,li}.
Opgave 6. Giv din løsning på følgende opgave fra tidsskriftet Illustreret Videnskab nr. 13/2004:
"EKSPERTNØDDEN
1 5 − 1 = 0
2 5 − 2 = 30
3 5 − 3 = 240
4 5 − 4 = 1020
Femte kolonne Er der altid sådan, at n 5 − n er delelig med 5?"
AFLEVERINGSOPGAVE TIL UGEN 20.9–26.9
En (og højst én) af følgende to muligheder efter frit valg:
• Lærebogens Øvelse 197.
• Lærebogens Øvelse 198.
2

ANDRE BEMÆRKNINGER
Foredrag, som I kan have fornøjelse af
Eulers Venner arrangerer et gult foredrag onsdag den 15. september, 2004, klokken 16:15, i D1,
nemlig
Robin Wilson (Oxford) Lewis Carroll in Numberland
Abstract/Description :
Lewis Carroll (Charles Dodgson) is best known for the ’Alice’ books, and also as a pioneering
Victorian photographer.
But he was a mathematics teacher at Oxford. In this talk I describe his mathematical work
– in geometry, algebra, logic and recreational mathematics.
Foredrag
Nedenstående foredrag er nok kun for dem af jer, der har en speciel interesse i datalogi.
Eulers Venner arrangerer et gult foredrag tirsdag den 28. September, 2004, klokken 16:15, i
D1, nemlig
Peter Bro Miltersen (DAIMI) P vs. NP-problemet
Abstrakt/Beskrivelse :
Kompleksitetsteori er et forskningsområde på grænsen mellem matematik og datalogi hvis
formål er at forstå resursebegrænsede beregninger i meget bred forstand. Et eksempel på et
fundamentalt (uløst) spørgsmål der undersøges i kompleksitetsteori er P vs. NP-problemet. En
måde at forstå P vs. NP-problemet på er at det karakteriserer hvorvidt matematik er nemt eller
svært: P er lig NP hvis (og kun hvis!) der findes et computer-program med følgende egenskaber.
Hvis man giver programmet en matematisk sætning, så finder programmet det korteste bevis
blandt alle mulige beviser for sætningen (hvis der altså overhovedet findes et bevis). Desuden
kører programmet væsentligt (eksponentielt) hurtigere end det program der simpelthen prøver
alle muligheder igennem. P vs. NP-problemet har således filosofisk betydning for matematikens
grundlag. Men overraskende nok fanger P vs. NP-problemet samtidig vanskeligheden af en lang
række fuldkommen dagligdags problemer, som f.eks. problemet om den korteste rundtur for en
rejsende handelsmand: P er lig NP hvis (og kun hvis!) dette praktisk velkendte optimeringsproblem
kan løses med et computer-program der er effektivt – uanset hvilken probleminstans der
gives som input.
3
Henrik Stetkær