Hele Et første kursus i teoretisk statistik. Første udgave. - Aarhus ...

34 KAPITEL 3. SUFFICIENS
Korollar 3.11. En sufficient observator T = t(X), t : (X , A) → (R k , B(R k )), A separabel,
er minimal sufficient hvis
σ(t) ⊆ σ(C, N)
Bevis. Da C ⊆ σ(C0, N) er σ(t) ⊆ σ(C0, N) = σ(t0, N), og fra Lemma 3.7 (vi kan
bruge Lemma 3.7 koordinatvis) har vi eksistensen af f1, så at
t(x) = f1(t0(x)) n.s. − λ.
Da t0(X) er minimal sufficient, er derfor også t(X) minimal sufficient ifølge Definition
3.5(ii).
Den følgende sætning er ofte brugbar for at finde en minimal sufficient observator. Jeg
minder om, at komplethed af en observator er defineret i afsnit 2.7.
Sætning 3.12. Lad A være separabel og lad P være domineret af det σ-endelige mål
µ. Lad desuden T = t(X), t : X → R k , være en sufficient og komplet observator under
P. Så er T minimal sufficient.
Bevis. Lad π(·|t) være den fælles betingede fordeling af P givet T0, hvor T0 = t0(X) er
den kendte minimal sufficiente fra Sætning 3.10. Da T0 er minimal sufficient, eksisterer
der en funktion g så at
t0(x) = g(t(x)) n.s. − λ. (3.17)
Definer
f1(x) = t(x) − t( ˜x)π(d ˜x|t0(x)),
f(t) = t − t( ˜x)π(d ˜x|g(t)),
hvor f(t(x)) = f1(x) n.s.−λ ifølge (3.17). Vi har at
Vi har dermed også at
og da T er komplet følger det at
Det vil sige at
EP f1(X) = EPT − EPEP(T|T0)
= EPT − EPT
= 0, ∀ P ∈ P.
EP f(T) = 0, ∀ P ∈ P,
f1(x) = f(t(x)) = 0 n.s. − λ.
t(x) =
t( ˜x)π(d ˜x|t0(x)) n.s. − λ,
eller sagt på anden vis: der eksistere en funktion g1 så at
t(x) = g1(t0(x)) n.s. − λ.
Da T0 er en funktion af en vilkårlig sufficient observator, følger det nu, at også T er en
funktion af en vilkårlig sufficient observator, og dermed er T minimal sufficient.