43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet
43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet
43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
⎧<br />
⎨<br />
fy(y) =<br />
⎩<br />
E Y = 1<br />
3<br />
1<br />
2 √ y<br />
hvis y ∈]0, 1[<br />
0 ellers,<br />
og V ar Y = 4<br />
45 .<br />
Opgave 29 Lad X betegne den stokastiske variable i Opgave 21, det vil sige X har tætheden<br />
fX(x) = 2(1 − x), hvis x ∈]0, 1[.<br />
Find tæthedsfunktionen for Y = √ X [fY (y) = 4y(1 − y 2 ), y ∈]0, 1[] og beregn middel-<br />
værdien af Y [8/15].<br />
Opgave 30 En to-dimensional kontinuert stokastisk vektor (X1, X2) har tæthedsfunktion<br />
f(X1,X2)(x1, x2) = x1 + x2, hvis (x1, x2) ∈]0, 1[×]0, 1[.<br />
a) Vis, at tæthedsfunktionen for X1 er<br />
samt beregn E X1 [7/12] og V ar X1 [11/144].<br />
Lad (Y1, Y2) = (X1, X1 + X2).<br />
b) Vis, at tæthedfunktionen for (Y1, Y2) er<br />
fX1(x1) = x1 + 1<br />
2 , hvis x1 ∈]0, 1[,<br />
f(Y1,Y2)(y1, y2) = y2, hvis y1 ∈]0, 1[ og y1 < y2 < 1 + y1.<br />
Opgave 31 Eksempler p˚a beregning af fordelingen af summen af uafhængige stokastiske vari-<br />
able.<br />
Antag, at X1 og X2 er uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable og lad X· =<br />
X1 + X2.<br />
a) Vis ved hjælp af formel (8.2) i BPT, at hvis den fælles fordeling af X1 og X2 er diskret<br />
med sandsynlighedsfunktion<br />
x 0 1 2<br />
fX(x) 0.4 0.5 0.1<br />
s˚a er X· en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion<br />
x· 0 1 2 3 4<br />
fX·(x·) 0.16 0.40 0.33 0.10 0.01<br />
9