43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

8
Opgave 26 (Fortsættelse af Opgave 17)
Eksempel p˚a beregning af middelværdier, varianser, kovarians etc. for en to-dimensional
kontinuert stokastisk vektor.
1) Vis, at E X1 = 0 og E X2 = 2/3.
2) Vis, at E X 2 1 = 1/6 og E X 2 2 = 1/2.
3) Vis ved hjælp af 1), 2) og formel (6.20), at V ar X1 = 1/6 og V ar X2 = 1/18.
4) Vis først, at
E(X1X2) =
R
R
x1x2f(X1,X2)(x1, x2)dx1dx2 =
1
0
x2
x2
−x2
x1dx1
og dernæst, at E(X1X2) = 0 (idet værdien af det inderste integral er 0 for alle værdier af
x2 ∈ [0, 1]).
5) Vis ved hjælp af 1), 4) og formel (6.23), at Cov (X1, X2) = 0.
6) Brug 5) og formel (6.19) til at vise at Cor (X1, X2) = 0.
7) Vis, at X1 og X2 ikke er stokastisk uafhængige. (Betragt kriteriet i formel (5.62).)
Opgaven giver alts˚a et eksempel p˚a at to stokastiske variable kan være ukorrelerede uden at
være uafhængige.
Opgave 27 Lad (X1, X2) betegne en to-dimensional stokastisk vektor, hvis fordeling er be-
stemt ved tæthedsfunktionen f i Opgave 18:
4x1x2 + 4x
f(x1, x2) =
2 2 hvis (x1, x2) ∈ A
0 ellers.
hvor A er firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (0, 1) og (−1, 1).
a) Vis, at tæthedsfunktionen for (Y1, Y2) = (X1 + X2, X2) er
(Vink: Brug formel (7.7) i BPT.)
f(Y1,Y2)(y1, y2) = 4y1y2, for (y1, y2) ∈ [0, 1] × [0, 1].
b) Vis, at Y1 og Y2 er stokastisk uafhængige (brug formel (5.62) i BTP) samt at Y1 og Y2 har
samme fordeling.
Opgave 28 Antag, at X er uniformt fordelt p˚a intervallet ]0, 1[, dvs. X ∼ R(0, 1), og lad
Y = X 2 . Vis, at fordelingsfunktionen, tæthedsfunktionen, middelværdien og variansen for Y
er henholdsvis
⎧
⎪⎨ 0 hvis y ≤ 0
√
FY (y) = y hvis y ∈]0, 1[
⎪⎩ 1 hvis y ≥ 1,
dx2