43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

unge. Her vil vi kun interessere os for den del af mødrene for hvilke Y1 og Y2 antager en af
værdierne 18, 19 og 20 og for at lette beregningerne nedenfor indføres betegnelserne
X1 = Y1 − 19
X2 = Y2 − 19
Ud fra undersøgelserne kan fordelingen af (X1, X2) estimeres ved sandsynlighederne i
følgende tabel:
1 ◦ Beregn E X1 og V ar X1.
2 ◦ Beregn E X2 og V ar X2.
X2\X1 −1 0 1
−1 0.020 0.085 0.013
0 0.051 0.446 0.180
1 0.005 0.100 0.100
3 ◦ Beregn Cov (X1, X2) og undersøg, om X1 og X2 er stokastisk uafhængige.
4 ◦ Benyt relationen mellem (X1, X2) og (Y1, Y2) samt resultaterne i 1 ◦ , 2 ◦ og 3 ◦ til at finde
E Y1 og E Y2 og til at undersøge om Y1 og Y2 er stokastisk uafhængige.
Opgave 25 (Eksamen i Biostatistik Vinteren 1992/93, Opgave 1)
Lad X1 og X2 være uafhængige diskrete stokastiske variable begge uniformt fordelt p˚a
mængden {1, 2, 3, 4, 5}, dvs. at for i = 1 og 2 er sandsynlighedsfunktionen for Xi
fXi (xi) = P (Xi = x1) = 1/5, for x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
1 ◦ Vis, at X1 har middelværdi 3 og varians 2.
2 ◦ Vis, at X1 − X2 har middelværdi 0 og varians 4.
Lad D betegne den stokastiske variabel
D = | X1 − X2 | ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 }.
3◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for D er
⎧
5/25 hvis d = 0
4 ◦ Beregn middelværdien for D.
⎪⎨ 8/25 hvis d = 1
fD(d) = P (D = d) = 6/25 hvis d = 2
⎪⎩
4/25 hvis d = 3
2/25 hvis d = 4.
7