43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

Opgave 11 Antag, at vi udfører en række uafhængige kast med en mønt, der med sandsyn-
lighed p( ∈]0, 1[ ) viser ”plat” og med sandsynlighed 1 − p viser ”krone”. Lad T betegne den
stokastiske variable, der angiver det tidspunkt, hvor vi første gang f˚ar ”krone”.
samt at
a) Vis, eventuelt ved hjælp af Example 4.4, at sandsynlighedsfunktionen for T er
P (T = n) = (1 − p)p n−1 , n = 1, 2, . . . .
b) Vis, at sandsynligheden for at T er ulige, dvs. T ∈ {1, 3, 5, ...} er
P (T ulige) = 1
1 + p ,
P (T lige) = p
1 + p .
(Vink: brug resultaterne i Opgave 10.)
c) Det ses af b), at P (T ulige) altid er større end P (T lige). For hvilke værdier af p er
forskellen mellem disse sandsynligheder størst? Giv en ”naturlig” forklaring p˚a dette.
Opgave 12 Vis, at sandsynlighedsfunktionerne for de stokastiske varible R, W, S, Y og Z i
Example 5.1 er som angivet p˚a side 32. Angiv de tilsvarende fordelingsfunktioner.
Opgave 13 Hos mennesker nedarves brunøjethed dominant overe bl˚aøjethed. Et anlæg for
brunøjethed betegnes med A, et anlæg for bl˚aøjethed med a.
I en familie med 4 børn vides begge forældre at have arveformel Aa. Find sandsynligheden
for, at netop 2 af børnene er brunøjede (der er ingen tvillinger).
Opgave 14 Vis ved at benytte omskrivningen
at
Vis dernæst, at
er divergent.
1
n(n + 1)
∞
n=1
1 1
= −
n n + 1
1
n(n + 1)
= 1.
∞ 1
n
n(n + 1)
n=1
(Vink: skriv de første led i denne række op og sammenlign med den harmoniske række, som er
divergent, se side 133.)
3