43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet
43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet
43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
samt at sandsynlighedsfunktionen for den marginale fordeling af U er<br />
u −1 1<br />
P (U = u) 2π(1 − π) π 2 + (1 − π) 2<br />
4 ◦ Vis endelig, at hvis π = 0.5, s˚a er X og U stokastisk uafhængige og U har samme<br />
fordeling som X.<br />
Opgave 37 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1994/95, Opgave 1)<br />
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion<br />
<br />
2 3x hvis x ∈ ]0, 1[<br />
fX(x) =<br />
0 ellers.<br />
1 ◦ Vis, at<br />
P (X ∈ ] 1 3 13<br />
, [ ) =<br />
4 4 32 .<br />
2◦ Vis, at middelværdien og variansen af X er henholdsvis<br />
E X = 3<br />
4<br />
og V ar X = 3<br />
80 .<br />
3 ◦ Lad Z betegne en stokastisk variabel, som er uafhængig af X og som har samme fordeling<br />
som X. Beregn middelværdien og variansen af X − 2Z.<br />
4 ◦ Lad Y = −3 ln X og vis, at Y er eksponentialfordelt med parameter λ = 1, det vil sige,<br />
at tæthedsfunktionen for Y er<br />
fY (y) =<br />
e −y hvis y ∈ ] 0, ∞ [<br />
0 ellers.<br />
Opgave 38 (Reeksamen i Geostatistik Vinteren 1994/95, Opgave 1)<br />
En diskret stokastisk variabel B har sandsynlighedsfunktion:<br />
B −1 0 1<br />
P (B = ·)<br />
1 ◦ Find middelværdien og variansen af B.<br />
3<br />
10<br />
En anden diskret stokastisk variabel A antager kun værdierne −1 og 1 med positiv sandsyn-<br />
lighed. Fordelingen af A er indirekte givet ved de betingede sandsynligheder af A = 1 givet B<br />
som angivet i følgende tabel:<br />
2<br />
10<br />
5<br />
10<br />
B −1 0 1<br />
P (A = 1 | B = ·)<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
5<br />
13