43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

10 b) Vis ved hjælp af formel (8.3) i BPT, at hvis den fælles fordeling af X1 og X2 er ekspo- nentialfordelingen med parameter λ , dvs. (se formel (5.<strong>43</strong>) i BPT) den kontinuerte fordeling med tæthedsfunktion fX(x) = λe −λx , for x > 0, s˚a er X· en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion fX·(x.) = λ 2 x·e −λx· , for x· > 0. Opgave 32 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1992/93, Opgave 1) Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion ⎧ ⎨ fX(x) = ⎩ 1 x 0 hvis x ∈ ]1, e[ ellers, hvor e betegner grundtallet for den naturlige logaritme, dvs. ln(e) = 1. 1◦ Vis, at fordelingsfunktionen FX for X er givet ved ⎧ ⎪⎨ 0 hvis x ≤ 1 FX(x) = ln(x) ⎪⎩ 1 hvis x ∈ ]1, e[ hvis x ≥ e. 2 ◦ Vis, at middelværdien af X er 3 ◦ Vis, at variansen af X er E X = e − 1. V ar X = 1 (3 − e)(e − 1). 2 4 ◦ Lad Y = ln(X) og vis, at Y ∼ R(0, 1), dvs. at Y er uniformt (eller rektangulært) fordelt p˚a intervallet ]0, 1[. Opgave 33 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1993, Opgave 1) Lad X være en kontinuert stokastisk variabel, hvis fordelingsfunktion FX er givet ved 1 ◦ Vis, at ⎧ ⎪⎨ FX(x) = ⎪⎩ 0 hvis x ∈ ]−∞, 0[ 1 4 x2 hvis x ∈ [0, 2] 1 hvis x ∈ ]2, ∞[ . P (X ∈] 0.5, 1.5 ]) = 1 2 .
2◦ Vis, at tæthedsfunktionen fX for X er ⎧ ⎨ fX(x) = ⎩ 1 x 2 0 hvis x ∈ [0, 2] ellers. 3 ◦ Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis E X = 4 3 og V ar X = 2 9 . 4 ◦ Lad Y betegne den transformerede stokastiske variabel Find fordelingen af Y . Y = 1 4 X2 . Opgave 34 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1993/94, Opgave 1) Lad X være en kontinuert stokastisk variabel hvis fordelingsfunktion FX er givet ved ⎧ ⎪⎨ 0 hvis x ∈ ]−∞, 0[ FX(x) = 3x ⎪⎩ 2 − 2x3 1 hvis x ∈ [0, 1] hvis x ∈ ]1, ∞[ . 1 ◦ Vis, at P (X ∈] 0, 0.5 ]) = P (X ∈] 0.5, 1 ]) = 1 2 . 2◦ Vis, at tæthedsfunktionen fX for X er 6x(1 − x) hvis x ∈ [0, 1] fX(x) = 0 ellers. 3 ◦ Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis E X = 1 2 og V ar X = 1 20 . 4 ◦ Lad Y betegne den transformerede stokastiske variabel Vis, at Y har samme fordeling som X. Y = 1 − X. 11
Page 1 and 2: Afdeling for Teoretisk Statistik ST
Page 3 and 4: Opgave 11 Antag, at vi udfører en
Page 5 and 6: ) Vis ved hjælp af (*), at tæthed
Page 7 and 8: unge. Her vil vi kun interessere os
Page 9: ⎧ ⎨ fy(y) = ⎩ E Y = 1 3 1 2
Page 13 and 14: samt at sandsynlighedsfunktionen fo
Page 15 and 16: 1 ◦ Vis, at de marginale tætheds
Page 17: d) Vis at fordelingen af (X, Y ) er

43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?