43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet
43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet
43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK<br />
Institut for Matematiske Fag Jrgen Granfeldt<br />
<strong>Aarhus</strong> <strong>Universitet</strong> Jens Ledet Jensen<br />
Opgaver i <strong>sandsynlighedsregning</strong><br />
31. januar 2006<br />
Opgave 1 Lad A og B være hændelser s˚aledes at P (A) = 0.6, P (B) = 0.5 og P (A∪B) = 0.8.<br />
Find sandsynlighederne for følgende hændelser A ∩ B, A C , B C , A C ∩ B C og A C ∪ B C .<br />
(Vink: Det kan uden bevis benyttes, at A C ∩ B C = (A ∪ B) C og A C ∪ B C = (A ∩ B) C .)<br />
Opgave 2 Hvor mange udfald har spillet ”kast med 3 mønter”?<br />
Betragt det uniforme sandsynlighedsm˚al p˚a udfaldsrummet, dvs. antag at alle udfald er lige<br />
sandsynlige og beregn<br />
a) sandsynligheden for at alle mønter viser plat,<br />
b) sandsynligheden for at mindst en mønt viser krone,<br />
c) sandsynligheden for at netop en mønt viser krone.<br />
Besvar samme spørgsm˚al for spillet ”kast med n mønter”. Hvor stor skal n være, for at<br />
sandsynligheden for at f˚a mindst en krone er større end 95%?<br />
Opgave 3 Betragt spillet ”kast med 3 terninger”. Betragt det uniforme sandsynlighedsm˚al p˚a<br />
udfaldsrummet og beregn følgende:<br />
a) sandsynligheden for at alle terninger viser 6 øjne,<br />
b) sandsynligheden for at mindst en terning viser 6 øjne,<br />
c) sandsynligheden for at netop en terning viser 6 øjne.<br />
Beregn de samme sandsynligheder for spillet ”kast med n terninger” og bestem det mindste<br />
n s˚aledes, at sandsynligheden for at mindst en terning viser 6 øjne er større end 95%.<br />
Opgave 4 Betragt det uniforme sandsynlighedsm˚al p˚a E = [0, 10] og hændelserne A = [0, 5], B =<br />
[1, 7] og C = [4, 9].<br />
gige.<br />
Undersøg om A og B er uafhængige, om A og C er uafhængige, og om B og C er uafhæn-<br />
Opgave 5 En af de klassiske illustrationer af Bayes formel vedrører 3 kommoder, der hver har<br />
to skuffer. I de første kommode er der en guldmønt i hver af de to skuffer, i den anden kommode<br />
er der en guldmønt i den ene skuffe og en sølvmønt i den anden og endelig er der en sølvmønt<br />
i hver af skufferne i den tredje kommode. En af kommoderne vælges tilfældigt og en skuffe<br />
˚abnes og viser sig at indeholde en guldmønt. Hvad er sandsynligheden for at den anden skuffe<br />
i kommoden ogs˚a indeholder en guldmønt?
2<br />
Gæt først p˚a hvad sandsynligheden er og beregn den dernæst ved hjælp af Bayes formel.<br />
Opgave 6 Antag, at der i en moræne er 20% facetterede og 80% ikke-facetterede sm˚asten samt<br />
at 70% af de facetterede er granit og at 80% af de ikke-facetterede er granit. Hvad er sandsyn-<br />
ligheden for at en sten, der best˚ar af granit, er facetteret?<br />
Opgave 7 Et gartneri sælger sm˚a stedmoderplanter. Sandsynligheden for anlæg for bl˚a blomst<br />
er 0.7, for gul blomst 0.2 og for hvid blomst 0.1. Sandsynligheden for, at en plante kommer i<br />
groning er 0.95 for ”bl˚a” planter, 0.9 for ”gule” planter og 0.9 for ”hvide” planter.<br />
a) Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt plante kommer i groning?<br />
b) Hvad er sandsynligheden for, at en plante, der kommer i groning, f˚ar gule blomster?<br />
Opgave 8 Udled sandsynlighederne i Example 4.2 og 4.3 p˚a siderne 16 – 19 i BPT.<br />
Opgave 9 Evnen til at smage stoffet phenylthiocarbamid (PTC) er i mennesket bestemt af et<br />
enkelt, autosomalt locus med allelerne T og t. Allelen T dominerer over allelen t, s˚aledes at<br />
personer med genotypen T T eller T t er ”smagere”, medens personer med genotypen tt har<br />
fænotypen ”ikke-smagere”. Lad os betragte en human population, hvor T -allelen forekommer<br />
med hyppigheden p og t-allelen med hyppigheden q = 1 − p.<br />
Opstil, under antagelse af Hardy-Weinberg ligevægt i populationen, udtryk for:<br />
a) Hyppigheden i populationen af de tre mulige ægteskabstyper (smager) x (smager), (sma-<br />
ger) x (ikke-smager) og (ikke-smager) x (ikke-smager).<br />
typer.<br />
b) Hyppigheden af ”ikke-smager”-børn inden for hver af de tre under a) nævnte ægteskabs-<br />
Hvis hyppigheden af t-allelen er 10% (dvs. q = 0.10), hvor stor en del af samtlige ”ikke-<br />
smager”-børn kommer da fra den genotypiske ægteskabskombination T t x T t og hvor stor en<br />
del kommer fra ægteskaber af typen tt x tt?<br />
Opgave 10 Lad p ∈]0, 1[ og lad { an} være følgen med elementer<br />
samt at<br />
an = (1 − p)p n−1 , n = 1, 2, . . . .<br />
Vis ved hjælp af formel (B15) og formel (B9) med q = p 2 at<br />
∞<br />
n=0<br />
∞<br />
n=1<br />
a2n+1 =<br />
a2n =<br />
∞<br />
n=1<br />
∞<br />
n=0<br />
(1 − p)p 2n = 1<br />
1 + p<br />
(1 − p)p 2n−1 = p<br />
1 + p .<br />
Bemærk, at de to rækker er summen af elementer i følgen med henholdsvis ulige og lige numre.
Opgave 11 Antag, at vi udfører en række uafhængige kast med en mønt, der med sandsyn-<br />
lighed p( ∈]0, 1[ ) viser ”plat” og med sandsynlighed 1 − p viser ”krone”. Lad T betegne den<br />
stokastiske variable, der angiver det tidspunkt, hvor vi første gang f˚ar ”krone”.<br />
samt at<br />
a) Vis, eventuelt ved hjælp af Example 4.4, at sandsynlighedsfunktionen for T er<br />
P (T = n) = (1 − p)p n−1 , n = 1, 2, . . . .<br />
b) Vis, at sandsynligheden for at T er ulige, dvs. T ∈ {1, 3, 5, ...} er<br />
P (T ulige) = 1<br />
1 + p ,<br />
P (T lige) = p<br />
1 + p .<br />
(Vink: brug resultaterne i Opgave 10.)<br />
c) Det ses af b), at P (T ulige) altid er større end P (T lige). For hvilke værdier af p er<br />
forskellen mellem disse sandsynligheder størst? Giv en ”naturlig” forklaring p˚a dette.<br />
Opgave 12 Vis, at sandsynlighedsfunktionerne for de stokastiske varible R, W, S, Y og Z i<br />
Example 5.1 er som angivet p˚a side 32. Angiv de tilsvarende fordelingsfunktioner.<br />
Opgave 13 Hos mennesker nedarves brunøjethed dominant overe bl˚aøjethed. Et anlæg for<br />
brunøjethed betegnes med A, et anlæg for bl˚aøjethed med a.<br />
I en familie med 4 børn vides begge forældre at have arveformel Aa. Find sandsynligheden<br />
for, at netop 2 af børnene er brunøjede (der er ingen tvillinger).<br />
Opgave 14 Vis ved at benytte omskrivningen<br />
at<br />
Vis dernæst, at<br />
er divergent.<br />
1<br />
n(n + 1)<br />
∞<br />
n=1<br />
1 1<br />
= −<br />
n n + 1<br />
1<br />
n(n + 1)<br />
= 1.<br />
∞ 1<br />
n<br />
n(n + 1)<br />
n=1<br />
(Vink: skriv de første led i denne række op og sammenlign med den harmoniske række, som er<br />
divergent, se side 133.)<br />
3
4<br />
Opgave 15 Vis, at funktionen<br />
f(x) =<br />
1<br />
, x = 1, 2, . . . ,<br />
x(x + 1)<br />
er sandsynlighedsfunktionen for en diskret stokastisk variabel X. Undersøg desuden om X har<br />
middelværdi.<br />
(Vink: brug resultaterne i Opgave 14)<br />
Opgave 16 Betragt firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (1, 1) og (2, 1). Bestem arealet<br />
af denne firkant ved hjælp af et dobbelt integral.<br />
Opgave 17 Betragt trekanten T bestemt af punkterne (−1, 1), (0, 0) og (1, 1). Antag, at den<br />
to-dimensionale stokastiske vektor (X1, X2) er uniformt fordelt p˚a trekanten. Da arealet af T er<br />
1 betyder dette, at den simultane tæthedsfunktion (joint density function) for (X1, X2) er<br />
<br />
1 hvis (x1, x2) ∈ T<br />
f(X1,X2)(x1, x2) =<br />
0 ellers.<br />
og<br />
Vis, at de marginale tæthedsfunktioner for X1 og X2 er henholdsvis<br />
fX1(x1) = 1 − | x1 |, hvis x1 ∈ [−1, 1] ,<br />
fX2(x2) = 2x2, hvis x2 ∈ [0, 1] .<br />
Opgave 18 Lad A være firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (0, 1) og (−1, 1) og betragt<br />
funktionen<br />
f(x1, x2) =<br />
4x1x2 + 4x 2 2 hvis (x1, x2) ∈ A<br />
0 ellers.<br />
a) Gør rede for, at funktionen f er tæthedsfunktion for en to-dimensional kontinuert stoka-<br />
stisk vektor.<br />
Vink: For at vise at <br />
R 2<br />
f(x1, x2)dx1dx2 = 1,<br />
er det lettest at beregne dobbelt integralet som<br />
<br />
<br />
f(x1, x2)dx1 dx2,<br />
R R<br />
idet man først viser, at for fast x2 er<br />
<br />
<br />
f(x1, x2)dx1 = 2x2, for x2 ∈ [0, 1] . (*)<br />
R
) Vis ved hjælp af (*), at tæthedsfunktionen for X2 er<br />
fX2(x2) = 2x2, for x2 ∈ [0, 1] .<br />
c) Vis, at E X2 = 2/3 og at V ar X2 = 1/18.<br />
Opgave 19 A er en hændelse med sandsynlighed p. X er en stokastisk variabel, defineret ved<br />
<br />
1 hvis e ∈ A<br />
X(e) =<br />
−1 hvis e ∈ AC .<br />
Tegn fordelingsfunktionen for X. Vis, at E X = 2p − 1 og at V ar X = 4p(1 − p).<br />
Opgave 20 I mange hasardspil vædder man om, at en hændelse A indtræffer. Gevinsten ved<br />
indsatsen 1 er<br />
⎧<br />
⎨ 1 − p<br />
hvis e ∈ A<br />
X(e) = p<br />
⎩<br />
−1 hvis e ∈ AC ,<br />
hvor p = P (A). Vis, at E X = 0. Vis desuden, at V ar X = (1 − p)/p samt at variansen vokser,<br />
n˚ar p aftager.<br />
Opgave 21 En kontinuert stokastisk variabel X har tæthedsfunktionen<br />
a) Find sandsynligheden for at X > 1/4.<br />
b) Beregn middelværdi og varians af X.<br />
fX(x) = 2(1 − x), hvis x ∈ ]0, 1[.<br />
Opgave 22 Form˚alet med denne opgave er at illustrere vigtige begreber s˚asom middelværdi,<br />
varians, kovarians, korrelation og uafhængighed i en situation, hvor de numeriske beregninger<br />
forh˚abentlig ikke volder det store besvær.<br />
I den nedenst˚aende tabel er angivet sandsynlighedsfunktionen for en diskret to-dimensional<br />
stokastisk vektor (X1, X2). Desuden er angivet de marginale sandsynlighedsfunktioner for X1<br />
og X2, for eksempel er P (X1 = 1) = 0.34 og P (X2 = 1) = 0.36.<br />
X2 \X1 −1 0 1 P (X2 = ·)<br />
1 0.11 0.10 0.15 0.36<br />
0 0.14 0.12 0.14 0.40<br />
−1 0.09 0.08 0.07 0.24<br />
P (X1 = ·) 0.34 0.30 0.36<br />
1) Check, at marginalfordelingernes sandsynlighedsfunktioner er beregnet korrekt.<br />
5
6<br />
2) Undersøg, om X1 og X2 er stokastisk uafhængige.<br />
3) Vis, at E X1 = 0.02 og at E X2 = 0.12.<br />
Lad Z = X1X2.<br />
4) Vis, at sandsynlighedsfunktionen for Z er<br />
5) Vis, at EZ = E(X1X2) = 0.06.<br />
Z = X1X2 −1 0 1<br />
P (Z = ·) 0.18 0.58 0.24<br />
6) Vis, ved at bruge 3), 5) og formel (6.23), at Cov (X1, X2) = 0.0576.<br />
Lad (Y1, Y2) = (X 2 1, X 2 2).<br />
7) Vis, at sandsynlighedsfunktionen for (Y1, Y2) er<br />
Y2 \Y1 0 1<br />
8) Vis, at Y1 og Y2 er stokastisk uafhængige.<br />
1 0.18 0.42<br />
0 0.12 0.28<br />
9) Vis, at E X 2 1 = E Y1 = 0.7 og at E X 2 2 = E Y2 = 0.6.<br />
10) Vis ved hjælp af 3), 9) og formel (6.20), at V ar X1 = 0.6996 og at V ar X2 = 0.5856.<br />
11) Beregn Cor (X1, X2) ved hjælp af 6), 10) og formel (6.19).<br />
Opgave 23 En to-dimensionel diskret stokastisk vektor (X, Y ) har sandsynlighedsfunktion<br />
som anført i nedenst˚aende tabel<br />
X \Y 0 1 2<br />
0 0.10 0.05 0.10<br />
1 0.10 0.10 0.10<br />
2 0.07 0.08 0.05<br />
3 0.05 0.12 0.08<br />
Find sandsynlighedsfunktionen for X og beregn E X [1.45] og V ar X [1.2475].<br />
Find sandsynlighedsfunktionen for Y og beregn E Y [1.01] og V ar Y [0.6499].<br />
Find E (XY ) [1.50] og Cov (X, Y ) [0.0355].<br />
Er X og Y uafhængige?<br />
Opgave 24 (Eksamen Biostatistik sommeren 92, Opgave 1)<br />
J. Schmidt og K. Smidt foretog i henholdsvis 1917 og 1922 en undersøgelse vedrørende va-<br />
riationen i brystfinnen hos ˚alekvabber (Zoarces viviparus). For et stort antal mødre blev antallet<br />
af str˚aler Y1 hos moderen registreret tillige med antallet af str˚aler Y2 hos en tilfældigt udvalgt
unge. Her vil vi kun interessere os for den del af mødrene for hvilke Y1 og Y2 antager en af<br />
værdierne 18, 19 og 20 og for at lette beregningerne nedenfor indføres betegnelserne<br />
X1 = Y1 − 19<br />
X2 = Y2 − 19<br />
Ud fra undersøgelserne kan fordelingen af (X1, X2) estimeres ved sandsynlighederne i<br />
følgende tabel:<br />
1 ◦ Beregn E X1 og V ar X1.<br />
2 ◦ Beregn E X2 og V ar X2.<br />
X2\X1 −1 0 1<br />
−1 0.020 0.085 0.013<br />
0 0.051 0.446 0.180<br />
1 0.005 0.100 0.100<br />
3 ◦ Beregn Cov (X1, X2) og undersøg, om X1 og X2 er stokastisk uafhængige.<br />
4 ◦ Benyt relationen mellem (X1, X2) og (Y1, Y2) samt resultaterne i 1 ◦ , 2 ◦ og 3 ◦ til at finde<br />
E Y1 og E Y2 og til at undersøge om Y1 og Y2 er stokastisk uafhængige.<br />
Opgave 25 (Eksamen i Biostatistik Vinteren 1992/93, Opgave 1)<br />
Lad X1 og X2 være uafhængige diskrete stokastiske variable begge uniformt fordelt p˚a<br />
mængden {1, 2, 3, 4, 5}, dvs. at for i = 1 og 2 er sandsynlighedsfunktionen for Xi<br />
fXi (xi) = P (Xi = x1) = 1/5, for x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.<br />
1 ◦ Vis, at X1 har middelværdi 3 og varians 2.<br />
2 ◦ Vis, at X1 − X2 har middelværdi 0 og varians 4.<br />
Lad D betegne den stokastiske variabel<br />
D = | X1 − X2 | ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 }.<br />
3◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for D er<br />
⎧<br />
5/25 hvis d = 0<br />
4 ◦ Beregn middelværdien for D.<br />
⎪⎨ 8/25 hvis d = 1<br />
fD(d) = P (D = d) = 6/25 hvis d = 2<br />
⎪⎩<br />
4/25 hvis d = 3<br />
2/25 hvis d = 4.<br />
7
8<br />
Opgave 26 (Fortsættelse af Opgave 17)<br />
Eksempel p˚a beregning af middelværdier, varianser, kovarians etc. for en to-dimensional<br />
kontinuert stokastisk vektor.<br />
1) Vis, at E X1 = 0 og E X2 = 2/3.<br />
2) Vis, at E X 2 1 = 1/6 og E X 2 2 = 1/2.<br />
3) Vis ved hjælp af 1), 2) og formel (6.20), at V ar X1 = 1/6 og V ar X2 = 1/18.<br />
4) Vis først, at<br />
<br />
E(X1X2) =<br />
R<br />
<br />
R<br />
x1x2f(X1,X2)(x1, x2)dx1dx2 =<br />
1<br />
0<br />
x2<br />
x2<br />
−x2<br />
x1dx1<br />
og dernæst, at E(X1X2) = 0 (idet værdien af det inderste integral er 0 for alle værdier af<br />
x2 ∈ [0, 1]).<br />
5) Vis ved hjælp af 1), 4) og formel (6.23), at Cov (X1, X2) = 0.<br />
6) Brug 5) og formel (6.19) til at vise at Cor (X1, X2) = 0.<br />
7) Vis, at X1 og X2 ikke er stokastisk uafhængige. (Betragt kriteriet i formel (5.62).)<br />
Opgaven giver alts˚a et eksempel p˚a at to stokastiske variable kan være ukorrelerede uden at<br />
være uafhængige.<br />
Opgave 27 Lad (X1, X2) betegne en to-dimensional stokastisk vektor, hvis fordeling er be-<br />
stemt ved tæthedsfunktionen f i Opgave 18:<br />
<br />
4x1x2 + 4x<br />
f(x1, x2) =<br />
2 2 hvis (x1, x2) ∈ A<br />
0 ellers.<br />
hvor A er firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (0, 1) og (−1, 1).<br />
a) Vis, at tæthedsfunktionen for (Y1, Y2) = (X1 + X2, X2) er<br />
(Vink: Brug formel (7.7) i BPT.)<br />
f(Y1,Y2)(y1, y2) = 4y1y2, for (y1, y2) ∈ [0, 1] × [0, 1].<br />
b) Vis, at Y1 og Y2 er stokastisk uafhængige (brug formel (5.62) i BTP) samt at Y1 og Y2 har<br />
samme fordeling.<br />
Opgave 28 Antag, at X er uniformt fordelt p˚a intervallet ]0, 1[, dvs. X ∼ R(0, 1), og lad<br />
Y = X 2 . Vis, at fordelingsfunktionen, tæthedsfunktionen, middelværdien og variansen for Y<br />
er henholdsvis<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 hvis y ≤ 0<br />
√<br />
FY (y) = y hvis y ∈]0, 1[<br />
⎪⎩ 1 hvis y ≥ 1,<br />
<br />
dx2
⎧<br />
⎨<br />
fy(y) =<br />
⎩<br />
E Y = 1<br />
3<br />
1<br />
2 √ y<br />
hvis y ∈]0, 1[<br />
0 ellers,<br />
og V ar Y = 4<br />
45 .<br />
Opgave 29 Lad X betegne den stokastiske variable i Opgave 21, det vil sige X har tætheden<br />
fX(x) = 2(1 − x), hvis x ∈]0, 1[.<br />
Find tæthedsfunktionen for Y = √ X [fY (y) = 4y(1 − y 2 ), y ∈]0, 1[] og beregn middel-<br />
værdien af Y [8/15].<br />
Opgave 30 En to-dimensional kontinuert stokastisk vektor (X1, X2) har tæthedsfunktion<br />
f(X1,X2)(x1, x2) = x1 + x2, hvis (x1, x2) ∈]0, 1[×]0, 1[.<br />
a) Vis, at tæthedsfunktionen for X1 er<br />
samt beregn E X1 [7/12] og V ar X1 [11/144].<br />
Lad (Y1, Y2) = (X1, X1 + X2).<br />
b) Vis, at tæthedfunktionen for (Y1, Y2) er<br />
fX1(x1) = x1 + 1<br />
2 , hvis x1 ∈]0, 1[,<br />
f(Y1,Y2)(y1, y2) = y2, hvis y1 ∈]0, 1[ og y1 < y2 < 1 + y1.<br />
Opgave 31 Eksempler p˚a beregning af fordelingen af summen af uafhængige stokastiske vari-<br />
able.<br />
Antag, at X1 og X2 er uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable og lad X· =<br />
X1 + X2.<br />
a) Vis ved hjælp af formel (8.2) i BPT, at hvis den fælles fordeling af X1 og X2 er diskret<br />
med sandsynlighedsfunktion<br />
x 0 1 2<br />
fX(x) 0.4 0.5 0.1<br />
s˚a er X· en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion<br />
x· 0 1 2 3 4<br />
fX·(x·) 0.16 0.40 0.33 0.10 0.01<br />
9
10<br />
b) Vis ved hjælp af formel (8.3) i BPT, at hvis den fælles fordeling af X1 og X2 er ekspo-<br />
nentialfordelingen med parameter λ , dvs. (se formel (5.<strong>43</strong>) i BPT) den kontinuerte fordeling<br />
med tæthedsfunktion<br />
fX(x) = λe −λx , for x > 0,<br />
s˚a er X· en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion<br />
fX·(x.) = λ 2 x·e −λx· , for x· > 0.<br />
Opgave 32 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1992/93, Opgave 1)<br />
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion<br />
⎧<br />
⎨<br />
fX(x) =<br />
⎩<br />
1<br />
x<br />
0<br />
hvis x ∈ ]1, e[<br />
ellers,<br />
hvor e betegner grundtallet for den naturlige logaritme, dvs. ln(e) = 1.<br />
1◦ Vis, at fordelingsfunktionen FX for X er givet ved<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 hvis x ≤ 1<br />
FX(x) = ln(x)<br />
⎪⎩ 1<br />
hvis x ∈ ]1, e[<br />
hvis x ≥ e.<br />
2 ◦ Vis, at middelværdien af X er<br />
3 ◦ Vis, at variansen af X er<br />
E X = e − 1.<br />
V ar X = 1<br />
(3 − e)(e − 1).<br />
2<br />
4 ◦ Lad Y = ln(X) og vis, at Y ∼ R(0, 1), dvs. at Y er uniformt (eller rektangulært) fordelt<br />
p˚a intervallet ]0, 1[.<br />
Opgave 33 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1993, Opgave 1)<br />
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel, hvis fordelingsfunktion FX er givet ved<br />
1 ◦ Vis, at<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
FX(x) =<br />
⎪⎩<br />
0 hvis x ∈ ]−∞, 0[<br />
1<br />
4 x2 hvis x ∈ [0, 2]<br />
1 hvis x ∈ ]2, ∞[ .<br />
P (X ∈] 0.5, 1.5 ]) = 1<br />
2 .
2◦ Vis, at tæthedsfunktionen fX for X er<br />
⎧<br />
⎨<br />
fX(x) =<br />
⎩<br />
1<br />
x<br />
2<br />
0<br />
hvis x ∈ [0, 2]<br />
ellers.<br />
3 ◦ Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis<br />
E X = 4<br />
3<br />
og V ar X = 2<br />
9 .<br />
4 ◦ Lad Y betegne den transformerede stokastiske variabel<br />
Find fordelingen af Y .<br />
Y = 1<br />
4 X2 .<br />
Opgave 34 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1993/94, Opgave 1)<br />
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel hvis fordelingsfunktion FX er givet ved<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 hvis x ∈ ]−∞, 0[<br />
FX(x) = 3x<br />
⎪⎩<br />
2 − 2x3 1<br />
hvis x ∈ [0, 1]<br />
hvis x ∈ ]1, ∞[ .<br />
1 ◦ Vis, at<br />
P (X ∈] 0, 0.5 ]) = P (X ∈] 0.5, 1 ]) = 1<br />
2 .<br />
2◦ Vis, at tæthedsfunktionen fX for X er<br />
<br />
6x(1 − x) hvis x ∈ [0, 1]<br />
fX(x) =<br />
0 ellers.<br />
3 ◦ Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis<br />
E X = 1<br />
2<br />
og V ar X = 1<br />
20 .<br />
4 ◦ Lad Y betegne den transformerede stokastiske variabel<br />
Vis, at Y har samme fordeling som X.<br />
Y = 1 − X.<br />
11
12<br />
Opgave 35 (Re- og sygeeksamen i Geostatistik Vinteren 1993/94, Opgave 1)<br />
Lad (X1, X2) være en diskret to-dimensional stokastisk vektor med sandsynlighedsfunktion<br />
som angivet i nedenst˚aende tabel:<br />
X2 \X1 1 2 3<br />
1 0.04 0.12 0.04<br />
2 0.12 0.36 0.12<br />
3 0.04 0.12 0.04<br />
1 ◦ Vis, at X1 og X2 har samme marginale fordeling med sandsynlighedsfunktion<br />
samt at X1 og X2 er stokastisk uafhængige.<br />
og<br />
2 ◦ Vis, at<br />
x 1 2 3<br />
fX(x) 0.20 0.60 0.20<br />
E X1 = E X2 = 2<br />
V ar X1 = V ar X2 = 0.40.<br />
3 ◦ Find E (X1 + X2), E (X1 − X2), V ar (X1 + X2) og V ar (X1 − X2).<br />
Opgave 36 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1994, opgave 1)<br />
Lad V være en diskret stokastisk variabel som er binomialfordelt med antalsparameter 1 og<br />
sandsynlighedsparameter π, det vil sige V ∼ b(1, π). Sæt<br />
X = 2V − 1.<br />
1 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X er<br />
x −1 1<br />
P (X = x) 1 − π π<br />
2 ◦ Beregn middelværdien og variansen for X.<br />
Lad Y være en stokastisk variabel som er stokastisk uafhængig af X og som har samme<br />
fordeling som X. Sæt<br />
U = X Y.<br />
3 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for den to-dimensionale diskrete stokastiske vektor<br />
(X, U) er<br />
X \ U −1 1<br />
−1 π(1 − π) (1 − π) 2<br />
1 π(1 − π) π 2
samt at sandsynlighedsfunktionen for den marginale fordeling af U er<br />
u −1 1<br />
P (U = u) 2π(1 − π) π 2 + (1 − π) 2<br />
4 ◦ Vis endelig, at hvis π = 0.5, s˚a er X og U stokastisk uafhængige og U har samme<br />
fordeling som X.<br />
Opgave 37 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1994/95, Opgave 1)<br />
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion<br />
<br />
2 3x hvis x ∈ ]0, 1[<br />
fX(x) =<br />
0 ellers.<br />
1 ◦ Vis, at<br />
P (X ∈ ] 1 3 13<br />
, [ ) =<br />
4 4 32 .<br />
2◦ Vis, at middelværdien og variansen af X er henholdsvis<br />
E X = 3<br />
4<br />
og V ar X = 3<br />
80 .<br />
3 ◦ Lad Z betegne en stokastisk variabel, som er uafhængig af X og som har samme fordeling<br />
som X. Beregn middelværdien og variansen af X − 2Z.<br />
4 ◦ Lad Y = −3 ln X og vis, at Y er eksponentialfordelt med parameter λ = 1, det vil sige,<br />
at tæthedsfunktionen for Y er<br />
fY (y) =<br />
e −y hvis y ∈ ] 0, ∞ [<br />
0 ellers.<br />
Opgave 38 (Reeksamen i Geostatistik Vinteren 1994/95, Opgave 1)<br />
En diskret stokastisk variabel B har sandsynlighedsfunktion:<br />
B −1 0 1<br />
P (B = ·)<br />
1 ◦ Find middelværdien og variansen af B.<br />
3<br />
10<br />
En anden diskret stokastisk variabel A antager kun værdierne −1 og 1 med positiv sandsyn-<br />
lighed. Fordelingen af A er indirekte givet ved de betingede sandsynligheder af A = 1 givet B<br />
som angivet i følgende tabel:<br />
2<br />
10<br />
5<br />
10<br />
B −1 0 1<br />
P (A = 1 | B = ·)<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
5<br />
13
14<br />
2 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for A er<br />
A −1 1<br />
P (A = ·)<br />
og beregn middelværdi og varians af A.<br />
4<br />
10<br />
3 ◦ Beregn de betingede sandsynligheder af B givet A.<br />
4 ◦ Beregn Cov (A, B).<br />
6<br />
10<br />
Opgave 39 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1995, Opgave 1)<br />
Lad X være en stokastisk variabel med fordelingsfunktion<br />
1 ◦ Vis, at<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
FX(x) =<br />
⎪⎩<br />
samt at tæthedsfunktionen for X er<br />
⎧<br />
⎨<br />
fX(x) =<br />
⎩<br />
0 hvis x < 1<br />
1<br />
4 (2 + 3x − x3 ) hvis − 1 ≤ x ≤ 1<br />
1 hvis x > 1.<br />
P (X ∈] − 1, 0.5 ]) = 27<br />
32 ,<br />
3<br />
4 (1 − x2 ) hvis − 1 ≤ x ≤ 1<br />
0 ellers.<br />
2 ◦ Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis<br />
Lad<br />
E X = 0 og V ar X = 1<br />
5 .<br />
Y = 1<br />
(Z + 1),<br />
2<br />
hvor Z er en stokastisk variabel, der er uafhængig af X og har samme fordeling som X.<br />
3 ◦ Beregn middelværdien og variansen af X − 2Y.<br />
4◦ Vis, at tæthedsfunktionen for Y er<br />
<br />
6y(1 − y) hvis y ∈ [0, 1]<br />
fY (y) =<br />
0 ellers.<br />
Opgave 40 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1995/96, Opgave 1)<br />
Lad (X, Y ) være en kontinuert to-dimensional vektor med simultan tæthedsfunktion<br />
⎧<br />
⎨<br />
f(X,Y )(x, y) =<br />
⎩<br />
3<br />
4 x2 hvis (x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1]<br />
0 ellers.
1 ◦ Vis, at de marginale tæthedsfunktioner for X og Y er henholdsvis<br />
og<br />
⎧<br />
⎨<br />
fX(x) =<br />
⎩<br />
samt at X og Y er stokastisk uafhængige.<br />
2 ◦ Beregn<br />
3<br />
2 x2 hvis x ∈ [−1, 1]<br />
0 ellers,<br />
⎧<br />
⎨ 1<br />
hvis y ∈ [−1, 1]<br />
fY (y) = 2<br />
⎩<br />
0 ellers,<br />
P ((X, Y ) ∈] − 1<br />
2<br />
, 1<br />
2<br />
1 1<br />
]×] − ,<br />
2 2 ]).<br />
3 ◦ Vis, at middelværdien og variansen af X og Y er henholdsvis<br />
E X = 0, E Y = 0, V ar X = 3<br />
1<br />
, og V ar Y =<br />
5 3 .<br />
4 ◦ Beregn middelværdien af s˚avel X − Y som XY .<br />
Opgave 41 (Reeksamen i Geostatistik Vinteren 1995/96, Opgave 1)<br />
Lad der være givet tre kugler med numrene 1, 2 og 3 samt tre kasser med numrene 1, 2 og 3.<br />
I hver kasse kan der kun være én kugle. Kuglerne fordeles tilfældigt i kasserne, og der noteres<br />
et sammenfald, hvis en kugle falder i en kasse med samme nummer.<br />
Lad X1 betegne antallet af sammenfald efter den første kugle er anbragt.<br />
1 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X1 er<br />
og beregn E X1 og V ar X1.<br />
X1 0 1<br />
fX1(x1)<br />
Lad dernæst X2 betegne antallet af sammenfald efter at to kugler er anbragt.<br />
2 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X2 er<br />
og beregn E X2 og V ar X2.<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
X2 0 1 2<br />
fX2(x2)<br />
1<br />
2<br />
Lad endelig X3 betegne antallet af sammenfald efter at alle tre kugler er anbragt.<br />
1<br />
3<br />
1<br />
6<br />
15
16<br />
3 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X3 er<br />
og beregn E X3 og V ar X3.<br />
X3 0 1 3<br />
fX3(x3)<br />
1<br />
3<br />
4 ◦ Find den betingede fordeling af X3 givet X1 = 0, samt den betingede fordeling af X3<br />
givet X1 = 1.<br />
Opgave 42 Et jokertal er et syvcifret tal, hvor hvert ciffer er et af tallene 0, 1, . . . , 9. Spiller<br />
man JOKER er antallet af rigtige lig med antallet af cifre fra højre mod venstre, der stemmer<br />
overens med jokertallet. Er jokertallet for eksempel 1234567 og man har tallet 6494567 er der<br />
fire rigtige. Har man derimod tallet 1234569 har man ingen rigtige.<br />
uger?<br />
uger?<br />
a) Find sandsynligheden for at have henholdsvis 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 og 0 rigtige.<br />
b) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige?<br />
Antag, at man spiller JOKER i tre p˚a hinanden følgende uger.<br />
c) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige i præcis én gang i løbet af de tre<br />
d) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige i mindst én gang i løbet af de tre<br />
Opgave <strong>43</strong> En række i LOTTO best˚ar af 7 af de første 36 hele positive tal.<br />
a) Gør rede for, at antallet af mulige rækker er<br />
<br />
36<br />
.<br />
7<br />
b) Lad x være et af tallene 0, 1, . . . , 7. Gør rede for, at antallet af rækker med x rigtige er<br />
<br />
7 29<br />
.<br />
x 7 − x<br />
c) Lad X betegne antallet af rigtige p˚a en enkelt række p˚a lottokuponen hvis de 7 numre<br />
vælges tilfældigt. Vis, at<br />
P (X = x) =<br />
1<br />
2<br />
1<br />
6<br />
<br />
7 29<br />
<br />
x 7 − x<br />
<br />
36<br />
7<br />
, x = 0, 1, . . . , 7,<br />
Foruden de syv ”vindertal” udtrækkes der ogs˚a to ”tillægstal”. Lad Y betegne antallet af<br />
rigtige tillægstal p˚a en enkelt række.
d) Vis at fordelingen af (X, Y ) er bestemt ved sandsynlighederne<br />
<br />
7 2 27<br />
<br />
P (X = x, Y = y) =<br />
x y 7 − x − y<br />
<br />
36<br />
7<br />
, x = 0, 1, . . . , 7, y = 0, 1, 2, s˚a x + y ≤ 7.<br />
Der udbetales gevinst, hvis en række indeholder 7 rigtige, 6 rigtige plus et tillægstal, 6<br />
rigtige, 5 rigtige og 4 rigtige.<br />
e) Hvad er sandsynligheden for gevinst p˚a en enkelt række?<br />
17