43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK
Institut for Matematiske Fag Jrgen Granfeldt
Aarhus Universitet Jens Ledet Jensen
Opgaver i sandsynlighedsregning
31. januar 2006
Opgave 1 Lad A og B være hændelser s˚aledes at P (A) = 0.6, P (B) = 0.5 og P (A∪B) = 0.8.
Find sandsynlighederne for følgende hændelser A ∩ B, A C , B C , A C ∩ B C og A C ∪ B C .
(Vink: Det kan uden bevis benyttes, at A C ∩ B C = (A ∪ B) C og A C ∪ B C = (A ∩ B) C .)
Opgave 2 Hvor mange udfald har spillet ”kast med 3 mønter”?
Betragt det uniforme sandsynlighedsm˚al p˚a udfaldsrummet, dvs. antag at alle udfald er lige
sandsynlige og beregn
a) sandsynligheden for at alle mønter viser plat,
b) sandsynligheden for at mindst en mønt viser krone,
c) sandsynligheden for at netop en mønt viser krone.
Besvar samme spørgsm˚al for spillet ”kast med n mønter”. Hvor stor skal n være, for at
sandsynligheden for at f˚a mindst en krone er større end 95%?
Opgave 3 Betragt spillet ”kast med 3 terninger”. Betragt det uniforme sandsynlighedsm˚al p˚a
udfaldsrummet og beregn følgende:
a) sandsynligheden for at alle terninger viser 6 øjne,
b) sandsynligheden for at mindst en terning viser 6 øjne,
c) sandsynligheden for at netop en terning viser 6 øjne.
Beregn de samme sandsynligheder for spillet ”kast med n terninger” og bestem det mindste
n s˚aledes, at sandsynligheden for at mindst en terning viser 6 øjne er større end 95%.
Opgave 4 Betragt det uniforme sandsynlighedsm˚al p˚a E = [0, 10] og hændelserne A = [0, 5], B =
[1, 7] og C = [4, 9].
gige.
Undersøg om A og B er uafhængige, om A og C er uafhængige, og om B og C er uafhæn-
Opgave 5 En af de klassiske illustrationer af Bayes formel vedrører 3 kommoder, der hver har
to skuffer. I de første kommode er der en guldmønt i hver af de to skuffer, i den anden kommode
er der en guldmønt i den ene skuffe og en sølvmønt i den anden og endelig er der en sølvmønt
i hver af skufferne i den tredje kommode. En af kommoderne vælges tilfældigt og en skuffe
˚abnes og viser sig at indeholde en guldmønt. Hvad er sandsynligheden for at den anden skuffe
i kommoden ogs˚a indeholder en guldmønt?

2
Gæt først p˚a hvad sandsynligheden er og beregn den dernæst ved hjælp af Bayes formel.
Opgave 6 Antag, at der i en moræne er 20% facetterede og 80% ikke-facetterede sm˚asten samt
at 70% af de facetterede er granit og at 80% af de ikke-facetterede er granit. Hvad er sandsyn-
ligheden for at en sten, der best˚ar af granit, er facetteret?
Opgave 7 Et gartneri sælger sm˚a stedmoderplanter. Sandsynligheden for anlæg for bl˚a blomst
er 0.7, for gul blomst 0.2 og for hvid blomst 0.1. Sandsynligheden for, at en plante kommer i
groning er 0.95 for ”bl˚a” planter, 0.9 for ”gule” planter og 0.9 for ”hvide” planter.
a) Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt plante kommer i groning?
b) Hvad er sandsynligheden for, at en plante, der kommer i groning, f˚ar gule blomster?
Opgave 8 Udled sandsynlighederne i Example 4.2 og 4.3 p˚a siderne 16 – 19 i BPT.
Opgave 9 Evnen til at smage stoffet phenylthiocarbamid (PTC) er i mennesket bestemt af et
enkelt, autosomalt locus med allelerne T og t. Allelen T dominerer over allelen t, s˚aledes at
personer med genotypen T T eller T t er ”smagere”, medens personer med genotypen tt har
fænotypen ”ikke-smagere”. Lad os betragte en human population, hvor T -allelen forekommer
med hyppigheden p og t-allelen med hyppigheden q = 1 − p.
Opstil, under antagelse af Hardy-Weinberg ligevægt i populationen, udtryk for:
a) Hyppigheden i populationen af de tre mulige ægteskabstyper (smager) x (smager), (sma-
ger) x (ikke-smager) og (ikke-smager) x (ikke-smager).
typer.
b) Hyppigheden af ”ikke-smager”-børn inden for hver af de tre under a) nævnte ægteskabs-
Hvis hyppigheden af t-allelen er 10% (dvs. q = 0.10), hvor stor en del af samtlige ”ikke-
smager”-børn kommer da fra den genotypiske ægteskabskombination T t x T t og hvor stor en
del kommer fra ægteskaber af typen tt x tt?
Opgave 10 Lad p ∈]0, 1[ og lad { an} være følgen med elementer
samt at
an = (1 − p)p n−1 , n = 1, 2, . . . .
Vis ved hjælp af formel (B15) og formel (B9) med q = p 2 at
∞
n=0
∞
n=1
a2n+1 =
a2n =
∞
n=1
∞
n=0
(1 − p)p 2n = 1
1 + p
(1 − p)p 2n−1 = p
1 + p .
Bemærk, at de to rækker er summen af elementer i følgen med henholdsvis ulige og lige numre.

Opgave 11 Antag, at vi udfører en række uafhængige kast med en mønt, der med sandsyn-
lighed p( ∈]0, 1[ ) viser ”plat” og med sandsynlighed 1 − p viser ”krone”. Lad T betegne den
stokastiske variable, der angiver det tidspunkt, hvor vi første gang f˚ar ”krone”.
samt at
a) Vis, eventuelt ved hjælp af Example 4.4, at sandsynlighedsfunktionen for T er
P (T = n) = (1 − p)p n−1 , n = 1, 2, . . . .
b) Vis, at sandsynligheden for at T er ulige, dvs. T ∈ {1, 3, 5, ...} er
P (T ulige) = 1
1 + p ,
P (T lige) = p
1 + p .
(Vink: brug resultaterne i Opgave 10.)
c) Det ses af b), at P (T ulige) altid er større end P (T lige). For hvilke værdier af p er
forskellen mellem disse sandsynligheder størst? Giv en ”naturlig” forklaring p˚a dette.
Opgave 12 Vis, at sandsynlighedsfunktionerne for de stokastiske varible R, W, S, Y og Z i
Example 5.1 er som angivet p˚a side 32. Angiv de tilsvarende fordelingsfunktioner.
Opgave 13 Hos mennesker nedarves brunøjethed dominant overe bl˚aøjethed. Et anlæg for
brunøjethed betegnes med A, et anlæg for bl˚aøjethed med a.
I en familie med 4 børn vides begge forældre at have arveformel Aa. Find sandsynligheden
for, at netop 2 af børnene er brunøjede (der er ingen tvillinger).
Opgave 14 Vis ved at benytte omskrivningen
at
Vis dernæst, at
er divergent.
1
n(n + 1)
∞
n=1
1 1
= −
n n + 1
1
n(n + 1)
= 1.
∞ 1
n
n(n + 1)
n=1
(Vink: skriv de første led i denne række op og sammenlign med den harmoniske række, som er
divergent, se side 133.)
3

4
Opgave 15 Vis, at funktionen
f(x) =
1
, x = 1, 2, . . . ,
x(x + 1)
er sandsynlighedsfunktionen for en diskret stokastisk variabel X. Undersøg desuden om X har
middelværdi.
(Vink: brug resultaterne i Opgave 14)
Opgave 16 Betragt firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (1, 1) og (2, 1). Bestem arealet
af denne firkant ved hjælp af et dobbelt integral.
Opgave 17 Betragt trekanten T bestemt af punkterne (−1, 1), (0, 0) og (1, 1). Antag, at den
to-dimensionale stokastiske vektor (X1, X2) er uniformt fordelt p˚a trekanten. Da arealet af T er
1 betyder dette, at den simultane tæthedsfunktion (joint density function) for (X1, X2) er
1 hvis (x1, x2) ∈ T
f(X1,X2)(x1, x2) =
0 ellers.
og
Vis, at de marginale tæthedsfunktioner for X1 og X2 er henholdsvis
fX1(x1) = 1 − | x1 |, hvis x1 ∈ [−1, 1] ,
fX2(x2) = 2x2, hvis x2 ∈ [0, 1] .
Opgave 18 Lad A være firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (0, 1) og (−1, 1) og betragt
funktionen
f(x1, x2) =
4x1x2 + 4x 2 2 hvis (x1, x2) ∈ A
0 ellers.
a) Gør rede for, at funktionen f er tæthedsfunktion for en to-dimensional kontinuert stoka-
stisk vektor.
Vink: For at vise at
R 2
f(x1, x2)dx1dx2 = 1,
er det lettest at beregne dobbelt integralet som
f(x1, x2)dx1 dx2,
R R
idet man først viser, at for fast x2 er
f(x1, x2)dx1 = 2x2, for x2 ∈ [0, 1] . (*)
R

) Vis ved hjælp af (*), at tæthedsfunktionen for X2 er
fX2(x2) = 2x2, for x2 ∈ [0, 1] .
c) Vis, at E X2 = 2/3 og at V ar X2 = 1/18.
Opgave 19 A er en hændelse med sandsynlighed p. X er en stokastisk variabel, defineret ved
1 hvis e ∈ A
X(e) =
−1 hvis e ∈ AC .
Tegn fordelingsfunktionen for X. Vis, at E X = 2p − 1 og at V ar X = 4p(1 − p).
Opgave 20 I mange hasardspil vædder man om, at en hændelse A indtræffer. Gevinsten ved
indsatsen 1 er
⎧
⎨ 1 − p
hvis e ∈ A
X(e) = p
⎩
−1 hvis e ∈ AC ,
hvor p = P (A). Vis, at E X = 0. Vis desuden, at V ar X = (1 − p)/p samt at variansen vokser,
n˚ar p aftager.
Opgave 21 En kontinuert stokastisk variabel X har tæthedsfunktionen
a) Find sandsynligheden for at X > 1/4.
b) Beregn middelværdi og varians af X.
fX(x) = 2(1 − x), hvis x ∈ ]0, 1[.
Opgave 22 Form˚alet med denne opgave er at illustrere vigtige begreber s˚asom middelværdi,
varians, kovarians, korrelation og uafhængighed i en situation, hvor de numeriske beregninger
forh˚abentlig ikke volder det store besvær.
I den nedenst˚aende tabel er angivet sandsynlighedsfunktionen for en diskret to-dimensional
stokastisk vektor (X1, X2). Desuden er angivet de marginale sandsynlighedsfunktioner for X1
og X2, for eksempel er P (X1 = 1) = 0.34 og P (X2 = 1) = 0.36.
X2 \X1 −1 0 1 P (X2 = ·)
1 0.11 0.10 0.15 0.36
0 0.14 0.12 0.14 0.40
−1 0.09 0.08 0.07 0.24
P (X1 = ·) 0.34 0.30 0.36
1) Check, at marginalfordelingernes sandsynlighedsfunktioner er beregnet korrekt.
5

6
2) Undersøg, om X1 og X2 er stokastisk uafhængige.
3) Vis, at E X1 = 0.02 og at E X2 = 0.12.
Lad Z = X1X2.
4) Vis, at sandsynlighedsfunktionen for Z er
5) Vis, at EZ = E(X1X2) = 0.06.
Z = X1X2 −1 0 1
P (Z = ·) 0.18 0.58 0.24
6) Vis, ved at bruge 3), 5) og formel (6.23), at Cov (X1, X2) = 0.0576.
Lad (Y1, Y2) = (X 2 1, X 2 2).
7) Vis, at sandsynlighedsfunktionen for (Y1, Y2) er
Y2 \Y1 0 1
8) Vis, at Y1 og Y2 er stokastisk uafhængige.
1 0.18 0.42
0 0.12 0.28
9) Vis, at E X 2 1 = E Y1 = 0.7 og at E X 2 2 = E Y2 = 0.6.
10) Vis ved hjælp af 3), 9) og formel (6.20), at V ar X1 = 0.6996 og at V ar X2 = 0.5856.
11) Beregn Cor (X1, X2) ved hjælp af 6), 10) og formel (6.19).
Opgave 23 En to-dimensionel diskret stokastisk vektor (X, Y ) har sandsynlighedsfunktion
som anført i nedenst˚aende tabel
X \Y 0 1 2
0 0.10 0.05 0.10
1 0.10 0.10 0.10
2 0.07 0.08 0.05
3 0.05 0.12 0.08
Find sandsynlighedsfunktionen for X og beregn E X [1.45] og V ar X [1.2475].
Find sandsynlighedsfunktionen for Y og beregn E Y [1.01] og V ar Y [0.6499].
Find E (XY ) [1.50] og Cov (X, Y ) [0.0355].
Er X og Y uafhængige?
Opgave 24 (Eksamen Biostatistik sommeren 92, Opgave 1)
J. Schmidt og K. Smidt foretog i henholdsvis 1917 og 1922 en undersøgelse vedrørende va-
riationen i brystfinnen hos ˚alekvabber (Zoarces viviparus). For et stort antal mødre blev antallet
af str˚aler Y1 hos moderen registreret tillige med antallet af str˚aler Y2 hos en tilfældigt udvalgt

unge. Her vil vi kun interessere os for den del af mødrene for hvilke Y1 og Y2 antager en af
værdierne 18, 19 og 20 og for at lette beregningerne nedenfor indføres betegnelserne
X1 = Y1 − 19
X2 = Y2 − 19
Ud fra undersøgelserne kan fordelingen af (X1, X2) estimeres ved sandsynlighederne i
følgende tabel:
1 ◦ Beregn E X1 og V ar X1.
2 ◦ Beregn E X2 og V ar X2.
X2\X1 −1 0 1
−1 0.020 0.085 0.013
0 0.051 0.446 0.180
1 0.005 0.100 0.100
3 ◦ Beregn Cov (X1, X2) og undersøg, om X1 og X2 er stokastisk uafhængige.
4 ◦ Benyt relationen mellem (X1, X2) og (Y1, Y2) samt resultaterne i 1 ◦ , 2 ◦ og 3 ◦ til at finde
E Y1 og E Y2 og til at undersøge om Y1 og Y2 er stokastisk uafhængige.
Opgave 25 (Eksamen i Biostatistik Vinteren 1992/93, Opgave 1)
Lad X1 og X2 være uafhængige diskrete stokastiske variable begge uniformt fordelt p˚a
mængden {1, 2, 3, 4, 5}, dvs. at for i = 1 og 2 er sandsynlighedsfunktionen for Xi
fXi (xi) = P (Xi = x1) = 1/5, for x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
1 ◦ Vis, at X1 har middelværdi 3 og varians 2.
2 ◦ Vis, at X1 − X2 har middelværdi 0 og varians 4.
Lad D betegne den stokastiske variabel
D = | X1 − X2 | ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 }.
3◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for D er
⎧
5/25 hvis d = 0
4 ◦ Beregn middelværdien for D.
⎪⎨ 8/25 hvis d = 1
fD(d) = P (D = d) = 6/25 hvis d = 2
⎪⎩
4/25 hvis d = 3
2/25 hvis d = 4.
7

8
Opgave 26 (Fortsættelse af Opgave 17)
Eksempel p˚a beregning af middelværdier, varianser, kovarians etc. for en to-dimensional
kontinuert stokastisk vektor.
1) Vis, at E X1 = 0 og E X2 = 2/3.
2) Vis, at E X 2 1 = 1/6 og E X 2 2 = 1/2.
3) Vis ved hjælp af 1), 2) og formel (6.20), at V ar X1 = 1/6 og V ar X2 = 1/18.
4) Vis først, at
E(X1X2) =
R
R
x1x2f(X1,X2)(x1, x2)dx1dx2 =
1
0
x2
x2
−x2
x1dx1
og dernæst, at E(X1X2) = 0 (idet værdien af det inderste integral er 0 for alle værdier af
x2 ∈ [0, 1]).
5) Vis ved hjælp af 1), 4) og formel (6.23), at Cov (X1, X2) = 0.
6) Brug 5) og formel (6.19) til at vise at Cor (X1, X2) = 0.
7) Vis, at X1 og X2 ikke er stokastisk uafhængige. (Betragt kriteriet i formel (5.62).)
Opgaven giver alts˚a et eksempel p˚a at to stokastiske variable kan være ukorrelerede uden at
være uafhængige.
Opgave 27 Lad (X1, X2) betegne en to-dimensional stokastisk vektor, hvis fordeling er be-
stemt ved tæthedsfunktionen f i Opgave 18:
4x1x2 + 4x
f(x1, x2) =
2 2 hvis (x1, x2) ∈ A
0 ellers.
hvor A er firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (0, 1) og (−1, 1).
a) Vis, at tæthedsfunktionen for (Y1, Y2) = (X1 + X2, X2) er
(Vink: Brug formel (7.7) i BPT.)
f(Y1,Y2)(y1, y2) = 4y1y2, for (y1, y2) ∈ [0, 1] × [0, 1].
b) Vis, at Y1 og Y2 er stokastisk uafhængige (brug formel (5.62) i BTP) samt at Y1 og Y2 har
samme fordeling.
Opgave 28 Antag, at X er uniformt fordelt p˚a intervallet ]0, 1[, dvs. X ∼ R(0, 1), og lad
Y = X 2 . Vis, at fordelingsfunktionen, tæthedsfunktionen, middelværdien og variansen for Y
er henholdsvis
⎧
⎪⎨ 0 hvis y ≤ 0
√
FY (y) = y hvis y ∈]0, 1[
⎪⎩ 1 hvis y ≥ 1,
dx2

⎧
⎨
fy(y) =
⎩
E Y = 1
3
1
2 √ y
hvis y ∈]0, 1[
0 ellers,
og V ar Y = 4
45 .
Opgave 29 Lad X betegne den stokastiske variable i Opgave 21, det vil sige X har tætheden
fX(x) = 2(1 − x), hvis x ∈]0, 1[.
Find tæthedsfunktionen for Y = √ X [fY (y) = 4y(1 − y 2 ), y ∈]0, 1[] og beregn middel-
værdien af Y [8/15].
Opgave 30 En to-dimensional kontinuert stokastisk vektor (X1, X2) har tæthedsfunktion
f(X1,X2)(x1, x2) = x1 + x2, hvis (x1, x2) ∈]0, 1[×]0, 1[.
a) Vis, at tæthedsfunktionen for X1 er
samt beregn E X1 [7/12] og V ar X1 [11/144].
Lad (Y1, Y2) = (X1, X1 + X2).
b) Vis, at tæthedfunktionen for (Y1, Y2) er
fX1(x1) = x1 + 1
2 , hvis x1 ∈]0, 1[,
f(Y1,Y2)(y1, y2) = y2, hvis y1 ∈]0, 1[ og y1 < y2 < 1 + y1.
Opgave 31 Eksempler p˚a beregning af fordelingen af summen af uafhængige stokastiske vari-
able.
Antag, at X1 og X2 er uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable og lad X· =
X1 + X2.
a) Vis ved hjælp af formel (8.2) i BPT, at hvis den fælles fordeling af X1 og X2 er diskret
med sandsynlighedsfunktion
x 0 1 2
fX(x) 0.4 0.5 0.1
s˚a er X· en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion
x· 0 1 2 3 4
fX·(x·) 0.16 0.40 0.33 0.10 0.01
9

10
b) Vis ved hjælp af formel (8.3) i BPT, at hvis den fælles fordeling af X1 og X2 er ekspo-
nentialfordelingen med parameter λ , dvs. (se formel (5.43) i BPT) den kontinuerte fordeling
med tæthedsfunktion
fX(x) = λe −λx , for x > 0,
s˚a er X· en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion
fX·(x.) = λ 2 x·e −λx· , for x· > 0.
Opgave 32 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1992/93, Opgave 1)
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion
⎧
⎨
fX(x) =
⎩
1
x
0
hvis x ∈ ]1, e[
ellers,
hvor e betegner grundtallet for den naturlige logaritme, dvs. ln(e) = 1.
1◦ Vis, at fordelingsfunktionen FX for X er givet ved
⎧
⎪⎨ 0 hvis x ≤ 1
FX(x) = ln(x)
⎪⎩ 1
hvis x ∈ ]1, e[
hvis x ≥ e.
2 ◦ Vis, at middelværdien af X er
3 ◦ Vis, at variansen af X er
E X = e − 1.
V ar X = 1
(3 − e)(e − 1).
2
4 ◦ Lad Y = ln(X) og vis, at Y ∼ R(0, 1), dvs. at Y er uniformt (eller rektangulært) fordelt
p˚a intervallet ]0, 1[.
Opgave 33 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1993, Opgave 1)
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel, hvis fordelingsfunktion FX er givet ved
1 ◦ Vis, at
⎧
⎪⎨
FX(x) =
⎪⎩
0 hvis x ∈ ]−∞, 0[
1
4 x2 hvis x ∈ [0, 2]
1 hvis x ∈ ]2, ∞[ .
P (X ∈] 0.5, 1.5 ]) = 1
2 .

2◦ Vis, at tæthedsfunktionen fX for X er
⎧
⎨
fX(x) =
⎩
1
x
2
0
hvis x ∈ [0, 2]
ellers.
3 ◦ Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis
E X = 4
3
og V ar X = 2
9 .
4 ◦ Lad Y betegne den transformerede stokastiske variabel
Find fordelingen af Y .
Y = 1
4 X2 .
Opgave 34 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1993/94, Opgave 1)
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel hvis fordelingsfunktion FX er givet ved
⎧
⎪⎨ 0 hvis x ∈ ]−∞, 0[
FX(x) = 3x
⎪⎩
2 − 2x3 1
hvis x ∈ [0, 1]
hvis x ∈ ]1, ∞[ .
1 ◦ Vis, at
P (X ∈] 0, 0.5 ]) = P (X ∈] 0.5, 1 ]) = 1
2 .
2◦ Vis, at tæthedsfunktionen fX for X er
6x(1 − x) hvis x ∈ [0, 1]
fX(x) =
0 ellers.
3 ◦ Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis
E X = 1
2
og V ar X = 1
20 .
4 ◦ Lad Y betegne den transformerede stokastiske variabel
Vis, at Y har samme fordeling som X.
Y = 1 − X.
11

12
Opgave 35 (Re- og sygeeksamen i Geostatistik Vinteren 1993/94, Opgave 1)
Lad (X1, X2) være en diskret to-dimensional stokastisk vektor med sandsynlighedsfunktion
som angivet i nedenst˚aende tabel:
X2 \X1 1 2 3
1 0.04 0.12 0.04
2 0.12 0.36 0.12
3 0.04 0.12 0.04
1 ◦ Vis, at X1 og X2 har samme marginale fordeling med sandsynlighedsfunktion
samt at X1 og X2 er stokastisk uafhængige.
og
2 ◦ Vis, at
x 1 2 3
fX(x) 0.20 0.60 0.20
E X1 = E X2 = 2
V ar X1 = V ar X2 = 0.40.
3 ◦ Find E (X1 + X2), E (X1 − X2), V ar (X1 + X2) og V ar (X1 − X2).
Opgave 36 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1994, opgave 1)
Lad V være en diskret stokastisk variabel som er binomialfordelt med antalsparameter 1 og
sandsynlighedsparameter π, det vil sige V ∼ b(1, π). Sæt
X = 2V − 1.
1 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X er
x −1 1
P (X = x) 1 − π π
2 ◦ Beregn middelværdien og variansen for X.
Lad Y være en stokastisk variabel som er stokastisk uafhængig af X og som har samme
fordeling som X. Sæt
U = X Y.
3 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for den to-dimensionale diskrete stokastiske vektor
(X, U) er
X \ U −1 1
−1 π(1 − π) (1 − π) 2
1 π(1 − π) π 2

samt at sandsynlighedsfunktionen for den marginale fordeling af U er
u −1 1
P (U = u) 2π(1 − π) π 2 + (1 − π) 2
4 ◦ Vis endelig, at hvis π = 0.5, s˚a er X og U stokastisk uafhængige og U har samme
fordeling som X.
Opgave 37 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1994/95, Opgave 1)
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion
2 3x hvis x ∈ ]0, 1[
fX(x) =
0 ellers.
1 ◦ Vis, at
P (X ∈ ] 1 3 13
, [ ) =
4 4 32 .
2◦ Vis, at middelværdien og variansen af X er henholdsvis
E X = 3
4
og V ar X = 3
80 .
3 ◦ Lad Z betegne en stokastisk variabel, som er uafhængig af X og som har samme fordeling
som X. Beregn middelværdien og variansen af X − 2Z.
4 ◦ Lad Y = −3 ln X og vis, at Y er eksponentialfordelt med parameter λ = 1, det vil sige,
at tæthedsfunktionen for Y er
fY (y) =
e −y hvis y ∈ ] 0, ∞ [
0 ellers.
Opgave 38 (Reeksamen i Geostatistik Vinteren 1994/95, Opgave 1)
En diskret stokastisk variabel B har sandsynlighedsfunktion:
B −1 0 1
P (B = ·)
1 ◦ Find middelværdien og variansen af B.
3
10
En anden diskret stokastisk variabel A antager kun værdierne −1 og 1 med positiv sandsyn-
lighed. Fordelingen af A er indirekte givet ved de betingede sandsynligheder af A = 1 givet B
som angivet i følgende tabel:
2
10
5
10
B −1 0 1
P (A = 1 | B = ·)
2
3
1
2
3
5
13

14
2 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for A er
A −1 1
P (A = ·)
og beregn middelværdi og varians af A.
4
10
3 ◦ Beregn de betingede sandsynligheder af B givet A.
4 ◦ Beregn Cov (A, B).
6
10
Opgave 39 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1995, Opgave 1)
Lad X være en stokastisk variabel med fordelingsfunktion
1 ◦ Vis, at
⎧
⎪⎨
FX(x) =
⎪⎩
samt at tæthedsfunktionen for X er
⎧
⎨
fX(x) =
⎩
0 hvis x < 1
1
4 (2 + 3x − x3 ) hvis − 1 ≤ x ≤ 1
1 hvis x > 1.
P (X ∈] − 1, 0.5 ]) = 27
32 ,
3
4 (1 − x2 ) hvis − 1 ≤ x ≤ 1
0 ellers.
2 ◦ Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis
Lad
E X = 0 og V ar X = 1
5 .
Y = 1
(Z + 1),
2
hvor Z er en stokastisk variabel, der er uafhængig af X og har samme fordeling som X.
3 ◦ Beregn middelværdien og variansen af X − 2Y.
4◦ Vis, at tæthedsfunktionen for Y er
6y(1 − y) hvis y ∈ [0, 1]
fY (y) =
0 ellers.
Opgave 40 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1995/96, Opgave 1)
Lad (X, Y ) være en kontinuert to-dimensional vektor med simultan tæthedsfunktion
⎧
⎨
f(X,Y )(x, y) =
⎩
3
4 x2 hvis (x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1]
0 ellers.

1 ◦ Vis, at de marginale tæthedsfunktioner for X og Y er henholdsvis
og
⎧
⎨
fX(x) =
⎩
samt at X og Y er stokastisk uafhængige.
2 ◦ Beregn
3
2 x2 hvis x ∈ [−1, 1]
0 ellers,
⎧
⎨ 1
hvis y ∈ [−1, 1]
fY (y) = 2
⎩
0 ellers,
P ((X, Y ) ∈] − 1
2
, 1
2
1 1
]×] − ,
2 2 ]).
3 ◦ Vis, at middelværdien og variansen af X og Y er henholdsvis
E X = 0, E Y = 0, V ar X = 3
1
, og V ar Y =
5 3 .
4 ◦ Beregn middelværdien af s˚avel X − Y som XY .
Opgave 41 (Reeksamen i Geostatistik Vinteren 1995/96, Opgave 1)
Lad der være givet tre kugler med numrene 1, 2 og 3 samt tre kasser med numrene 1, 2 og 3.
I hver kasse kan der kun være én kugle. Kuglerne fordeles tilfældigt i kasserne, og der noteres
et sammenfald, hvis en kugle falder i en kasse med samme nummer.
Lad X1 betegne antallet af sammenfald efter den første kugle er anbragt.
1 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X1 er
og beregn E X1 og V ar X1.
X1 0 1
fX1(x1)
Lad dernæst X2 betegne antallet af sammenfald efter at to kugler er anbragt.
2 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X2 er
og beregn E X2 og V ar X2.
2
3
1
3
X2 0 1 2
fX2(x2)
1
2
Lad endelig X3 betegne antallet af sammenfald efter at alle tre kugler er anbragt.
1
3
1
6
15

16
3 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X3 er
og beregn E X3 og V ar X3.
X3 0 1 3
fX3(x3)
1
3
4 ◦ Find den betingede fordeling af X3 givet X1 = 0, samt den betingede fordeling af X3
givet X1 = 1.
Opgave 42 Et jokertal er et syvcifret tal, hvor hvert ciffer er et af tallene 0, 1, . . . , 9. Spiller
man JOKER er antallet af rigtige lig med antallet af cifre fra højre mod venstre, der stemmer
overens med jokertallet. Er jokertallet for eksempel 1234567 og man har tallet 6494567 er der
fire rigtige. Har man derimod tallet 1234569 har man ingen rigtige.
uger?
uger?
a) Find sandsynligheden for at have henholdsvis 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 og 0 rigtige.
b) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige?
Antag, at man spiller JOKER i tre p˚a hinanden følgende uger.
c) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige i præcis én gang i løbet af de tre
d) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige i mindst én gang i løbet af de tre
Opgave 43 En række i LOTTO best˚ar af 7 af de første 36 hele positive tal.
a) Gør rede for, at antallet af mulige rækker er
36
.
7
b) Lad x være et af tallene 0, 1, . . . , 7. Gør rede for, at antallet af rækker med x rigtige er
7 29
.
x 7 − x
c) Lad X betegne antallet af rigtige p˚a en enkelt række p˚a lottokuponen hvis de 7 numre
vælges tilfældigt. Vis, at
P (X = x) =
1
2
1
6
7 29
x 7 − x
36
7
, x = 0, 1, . . . , 7,
Foruden de syv ”vindertal” udtrækkes der ogs˚a to ”tillægstal”. Lad Y betegne antallet af
rigtige tillægstal p˚a en enkelt række.

d) Vis at fordelingen af (X, Y ) er bestemt ved sandsynlighederne
7 2 27
P (X = x, Y = y) =
x y 7 − x − y
36
7
, x = 0, 1, . . . , 7, y = 0, 1, 2, s˚a x + y ≤ 7.
Der udbetales gevinst, hvis en række indeholder 7 rigtige, 6 rigtige plus et tillægstal, 6
rigtige, 5 rigtige og 4 rigtige.
e) Hvad er sandsynligheden for gevinst p˚a en enkelt række?
17