9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

Da {e1, e2} er en ortonormalbasis ses ved differentiation af 〈ei, ej〉 = δij, at
En lille udregning giver så
〈e ′ 1, e1〉 = 0, 〈e ′ 2, e2〉 = 0, 〈e ′ 1, e2〉 + 〈e1, e ′ 2〉 = 0.
〈α ′′ (s), N(s) ∧ α ′ (s)〉 = ϕ ′ (s) + 〈e ′ 1(s), e2(s)〉.
På den anden side er
〈e ′
d
1(s), e2(s)〉 =
ds e1(u(s),
v(s)), e2(s) = 〈u ′ e1u + v ′ e1v, e2〉
= 1
Gu
√ v
2 EG ′ − Ev
√ u
EG ′
.
Det sidste lighedstegn bruger, at F = 0 og differentiation af 〈xu, xv〉 = 0 m.h.t. u,
som giver, at
Det følger, at
Tilsvarende vises
〈xuu, xv〉 = −〈xu, xvu〉 = −〈xu, xuv〉 = − 1
2 Ev.
〈e1u, e2〉 =
xu
√E ,
u
xv
√G
〈e1v, e2〉 = 1 Gu
√ .
2 EG
Dette godtgør formlen, og beviset er færdigt.
En simpel lukket kurve i S er en kontinuert kurve
γ : [a, b] → S
= − 1 Ev
√ .
2 EG
med γ(a) = γ(b) og således, at restriktionen af γ til det halvåbne interval [a, b) er
injektiv.
En simpel lukket kurve kaldes stykkevist differentiabel, hvis der er en inddeling
a = s0 < s1 < · · · < sk+1 = b
således, at restriktionen γi af γ til intervallet [si, si+1] er differentiabel. Vi antager
endvidere, at γi er parametriseret ved buelængde således, at |γ ′ i(s)| = 1.
Vi minder om, at en basis {v1, v2} i TpS kaldes positiv, såfremt (v1∧v2)/|v1∧v2| =
N(p) og negativ, hvis (v1 ∧ v2)/|v1 ∧ v2| = −N(p).
Definition 9.14. Den orienterede vinkel mellem to vektorer v1, v2 ∈ TpS er tallet
−π < ϑ < π bestemt ved
(i) cos ϑ = 〈v1, v2〉/(|v1| |v2|), og
(ii) ϑ > 0, hvis og kun hvis {v1, v2} er en positiv basis.
Den orienterede vinkel vil blive betegnet med ∡(v1, v2).
8