9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

More documents

Recommendations

Info

9.2 Gauss-krumning via geodætiske trekanter Denne paragraf indeholder et nyt bevis for, at Gauss-krumningen kun afhænger af første fundamentalform. Vi vil betragte geodætiske trekanter indeholdt i en orienteret flade S. Hovedresultatet er følgende formel for Gauss-krumningen: K(p) = lim T →p 1 Area(T ) (ψ0 + ψ1 + ψ2 − π), (10) hvor T gennemløber geodætiske trekanter, som indeholder punktet p, og hvor ψ0, ψ1 og ψ2 er de indre vinkler. Da både areal og vinkler kan beregnes fra første fundamentalform, giver (10) et nyt og mere konkret bevis for Theorema Egregium. I resten af denne paragraf er S en orienteret flade og N : S → S 2 er den tilhørende Gauss-afbildning. Vi skal udelukkende betragte kort (U, x) på S med den egenskab, at første fundamentalform er på formen Ip(u ′ xu + v ′ xv) = Eu ′2 + Gv ′2 , dvs. kort, hvor F = 0. For sådanne kort er e1 = xu/|xu| og e2 = xv/|xv| en ortonormalbasis for TpS. Vi kalder dem ortogonale kort. Man kan vise, at ethvert p ∈ S er indeholdt i et ortogonalt kort. Lad α(s) = x(u(s), v(s)) være en kurve på S indeholdt i U ′ = x(U) og parametriseret ved buelængde. Så er α ′ (s) = u ′ (s)xu + v ′ (s)xv = a(s)e1 + b(s)e2 af længde 1. Da e1 = xu/|xu| og e2 = xv/|xv| er en ortonormalbasis, er Lemma 9.12. Kurven opfylder ϕ(s) = ϕ0 + a(s) 2 + b(s) 2 = 1. s (a(s)b ′ (s) − b(s)a ′ (s)) ds s0 cos ϕ(s) = a(s) og sin ϕ(s) = b(s) såfremt cos ϕ0 = a(s0) og sin ϕ(s0) = b(s0). Bevis. Vi skal godtgøre, at (11) e iϕ(s) = a(s) + ib(s). (12) Vi differentierer ligning (12) og multiplicerer resultatet med e −iϕ(s) ; det giver iϕ ′ (s) = (a ′ (s) + ib ′ (s))(a(s) − ib(s)) = i(b ′ (s)a(s) − a ′ (s)b(s)) + (a ′ (s)a(s) + b ′ (s)b(s)) = i(b ′ (s)a(s) − a ′ (s)b(s)). 6
Thi ved differentiation af ligningen a(s) 2 + b(s) 2 = 1 ses, at a ′ (s)a(s) + b ′ (s)b(s) = 0. Det følger, at ϕ(s) = ϕ0 + s (ab ′ − a ′ b) ds. Omvendt, lad ϕ være defineret ved ovenstående integral med ϕ0 valgt, så at Så giver ovenstående udregninger, at s0 a(s0) = cos ϕ0 og b(s0) = sin ϕ0. d ds eiϕ(s) = a ′ (s) + ib ′ (s) og dermed e iϕ(s) = a(s) + ib(s) + c0, hvor c0 er en konstant. Sæt s = s0 for at se, at c0 = 0. Funktionen ϕ(s) kaldes vinkelvariationen for kurven α(s). Den måler vinklen mellem e1 = xu/|xu| og α ′ (s) i tangentrummet Tα(s)S. Bemærk dog, at selvom 0 ≤ ϕ0 ≤ π, så behøver ϕ(s) ikke at ligge i dette interval: ϕ(s) måler vinklen mellem e1 og α ′ (s) op til et helt multiplum af 2π. I §9.1 indførte vi den geodætiske krumning kg for en kurve α, og så at kg(s) = 0 for en geodætisk kurve, som er parametriseret ved buelængde. Lemma 9.13. I et orienteret ortogonalt kort er den geodætiske krumning for kurven α(s) = x(u(s), v(s)) givet ved formlen kg(s) = 1 2 √ EG Gu dv ds − Ev du + ds dϕ ds , hvor E(s) = E(u(s), v(s)) og G(s) = G(u(s), v(s)), og hvor ϕ er vinkelvariationen af α. Bevis. Den geodætiske krumning langs α er givet ved kg(s) = 〈α ′′ (s), N(s) ∧ α ′ (s)〉, hvor N(s) = N(α(s)). Lad ei(s) = ei(u(s), v(s)) for i = 1, 2, hvor som ovenfor Som i lemma 9.12 har vi og derfor e1 = xu √E , e2 = xv √G . α ′ (s) = cos ϕ(s) e1(s) + sin ϕ(s) e2(s), α ′′ (s) = −ϕ ′ sin ϕ e1 + ϕ ′ cos ϕ e2 + cos ϕ e ′ 1 + sin ϕ e ′ 2 Da (U, x) er et orienteret kort, er e1 ∧ e2 = N, og dermed er N ∧ e1 = e2 og N ∧ e2 = −e1, så N(s) ∧ α ′ (s) = cos ϕ e2 − sin ϕ e1. 7
Page 1 and 2: 9 Geodætiske kurver og Gauss-krumn
Page 3 and 4: Lemma 9.2. Hvis integralet i (4) er
Page 5: Definition 9.7. Den geodætiske kru
Page 9 and 10: Lad os betragte en trekant T ⊆ S,
Page 11: for si ≤ s ≤ si+1. Fra (16) og

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?