9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

hvor det sidste lighedstegn fås ved at anvende ligningerne (2) fra do Carmo, side 232.
Tilsvarende udregnes
d ′
u xu + v
dt
′
xv , xv = d ′ ′
F u + Gv
dt
− 1
Evu 2
′2 + 2Fvu ′ v ′ + Gvv ′2 .
Hvis på den anden side γ ′′ (t) ⊥ Tγ(t)S, så er specielt 〈γ ′′ (t), γ ′ (t)〉 = 0, og det følger,
at |γ ′ (t)| er konstant.
Differentialligningerne i Sætning 9.3 kan omskrives til
ved at udføre differentiationerne
Eu ′′ + F v ′′ + 1
2Euu ′2 + Evu ′ v ′ + (Fv − 1
2Gu)v ′2 = 0
F u ′′ + Gv ′′ + (Fu − 1
2Ev)u ′2 + Guu ′ v ′ + 1
2Gvv ′2 = 0
d ′ ′
Eu + F v
dt
og
d ′ ′
Gu + F v
dt
.
Vi kan nu omskrive (7) ved at indføre Christoffel-symbolerne fra (2) i do Carmo,
side 232. Dette giver (i matrixform)
′′
E F u
F G v ′′
1 Γ11 + u ′2
1 Γ12 + 2 u ′ v ′
1 Γ22 + v ′2
= 0
Γ 2 11
og vi kan multiplicere med den inverse matrix og får følgende korollar.
Korollar 9.5. Kurven γ(t) = x(u(t), v(t)) er en geodæt, hvis og kun hvis (u, v)
opfylder differentialligningerne
u ′′ + Γ 1 11u ′2 + 2Γ 1 12u ′ v ′ + Γ 1 22v ′2 = 0, og v ′′ + Γ 2 11u ′2 + 2Γ 2 12u ′ v ′ + Γ 2 22v ′2 = 0.
Sætning 9.6. Lad p ∈ S og w ∈ TpS med |w| > 0. Så findes et ε > 0 og en entydig
bestemt geodæt γ : (−ε, ε) → S med γ(0) = p og γ ′ (0) = w.
Bevis. Det følger fra Sætning 3.3 i Noter til Geometri 1, at differentialligningerne
fra Korollar 9.5 har netop én løsning (u(t), v(t)) defineret i et lille interval (−ε, ε)
og således at
Γ 2 12
Γ 2 22
(u(0), v(0)) = x −1 (p) og u ′ (0)xu + v ′ (0)xv = w.
Dette giver den entydigt bestemte geodæt γ(t) = x(u(t), v(t)) for |t| < ε. Thi γ
opfylder (6) og |γ ′ (t)| = |w|, da |γ ′ (t)| er konstant og |γ ′ (0)| = |w|.
Vi husker fra §3–2 af do Carmo, at hvis α er en kurve i S som er parametriseret
ved buelængde (|α ′ (s)| = 1), så er dens normalkrumning kn(s) projektionen af
α ′′ (s) = k(s)n(s) på N(s) = N(α(s)), hvor N : S → S 2 er en Gauss-afbildning:
kn(s) = 〈α ′′ (s), N(s)〉 = IIα(s)(α ′ (s)).
Vi kan også projicere α ′′ (s) på Tα(s)S. I Tα(s)S kan vi bruge {α ′ (s), N(s) ∧ α ′ (s)}
som ortonormalbasis. Da 〈α ′′ (s), α ′ (s)〉 = 0, er projektionen af α ′′ (s) på Tα(s)S proportional
med N(s) ∧ α ′ (s).
4
(7)