9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

uelængde, men blot at γ ′ (t) har konstant længde c > 0. Kurven α(s) = γ(s/c) er
den tilsvarende kurve, som er parametriseret ved buelængde.
Vi antager nu at hele familien γϑ er indeholdt i et kort (U, x). Lad
ˆγ(ϑ, t) = x(û(ϑ, t), ˆv(ϑ, t)),
og sæt (u(t), v(t)) = (û(0, t), ˆv(0, t)), så at γ(t) = x(u(t), v(t)). Det viser sig at
betingelsen i Definition 9.1 er ækvivalent til at (u(t), v(t)) opfylder en 2. ordens
differentialligning. Vi bestemmer denne differentialligning i Sætning 9.3 nedenfor.
Lad
R(ϑ, t) = |γ ′ ϑ(t)| 2 = E
∂û
2 ∂t
+ 2F ∂û ∂ˆv
+ G
∂t ∂t
∂ˆv
2 ,
∂t
hvor E, F og G er koefficienterne i første fundamentalform, og E = E(û(ϑ, t), ˆv(ϑ, t))
etc. Så har vi
∂R
∂ϑ =
∂û
2 ∂û ∂ˆv
∂ˆv
2 ∂û
Eu + 2Fu + Gu
∂t ∂t ∂t ∂t ∂ϑ
∂û
2 ∂û ∂ˆv
∂ˆv
2 ∂ˆv
+ Ev + 2Fv + Gv
∂t ∂t ∂t ∂t ∂ϑ
+ 2 E ∂û ∂ˆv
2 ∂ û
+ F + 2 F
∂t ∂t ∂ϑ∂t ∂û
2 ∂ ˆv
+ G∂ˆv
∂t ∂t ∂ϑ∂t .
(2)
Da
har vi
∂
∂ϑ L(γϑ)
ϑ=0
L(γϑ) =
= 1
2
b
a
b
a
R(ϑ, t) dt,
−1 ∂R
R(0, t) · (0, t) dt (3)
∂ϑ
Nu antog vi i definition 9.1, at |γ ′ (t)| = c (men ikke tilsvarende for γϑ) og derfor, at
R(0, t) = c 2 for alle t. Partiel integration giver
b
a
E ∂û ∂ˆv
2 ∂ û
+ F
∂t ∂t ∂t∂ϑ dt
b
d
= − E
dt
∂û ∂ˆv
+ F
∂t ∂t
a
· ∂û
dt + E
∂ϑ ∂û
∂t
+ F ∂ˆv
∂t
∂û
b .
∂ϑ t=a
Sidste led er 0, da både û(ϑ, a) og û(ϑ, b) er konstante. Vi indsætter (2) i (3) og får
∂
∂ϑ L(γϑ)
=
ϑ=0
1
b
P
c
∂û ∂ˆv
(0, t) + Q (0, t) dt. (4)
∂ϑ ∂ϑ
Her er
P (t) = 1
Euu 2
′2 + 2Fuu ′ v ′ + Guv ′2 − ∂
Q(t) = 1
2
a
∂t
Evu ′2 + 2Fvu ′ v ′ + Gvv ′2 − ∂
∂t
og Eu = Eu(u(t), v(t)) etc., u ′ (t) = du
dt (t) og v′ (t) = dv
dt (t).
2
Eu ′ + F v ′ ,
F u ′ + Gv ′ ,
(5)