9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning
9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning
9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Uden bevis anføres:<br />
Sætning 9.17. For en trekant T ⊆ S, indeholdt i en kortomegn <strong>og</strong> med randkurve<br />
γ er Θ(γ) = ±2π. Fortegnet er +, hvis γ er positivt orienteret.<br />
Bemærk, at det er klart fra definitionen, at tallet Θ(γ) ikke forandres ved kontinuert<br />
deformation af γ. For eksempel kan vi deformere trekanten til en differentiabel<br />
simpel kurve (ved at “afrunde”) hjørnerne gradvist) uden at forandre Θ(γ). For en<br />
glat simpel kurve er ϑi = 0, så at<br />
Θ(γ) = ϕ(b) − ϕ(a) =<br />
b<br />
(a<br />
a<br />
′ b − ab ′ ) ds.<br />
Dette kaldes <strong>og</strong>så omløbstallet for γ ′ : [a, b] → S 1 , (γ ′ (a) = γ ′ (b)). Et bevis for<br />
sætning 9.17 kan findes i do Carmo, §5–7.<br />
Sætning 9.18. Lad T være en trekant i S, <strong>og</strong> som er indeholdt i et orienteret<br />
ort<strong>og</strong>onalt kort (U, x). Lad γ være randkurven med positiv orientering <strong>og</strong> med hjørner<br />
γ(s0), γ(s1) <strong>og</strong> γ(s2). Så gælder<br />
2<br />
i=0<br />
si+1<br />
si<br />
<br />
kg(s) ds +<br />
T<br />
K +<br />
2<br />
ϑi = 2π.<br />
Bevis. Ifølge do Carmo, Exercise 1 i §4–3, er K givet ved formlen<br />
i=0<br />
K = − 1<br />
2 √ <br />
Ev Gu<br />
√ + √ . (14)<br />
EG EG v EG u<br />
Lad R ⊆ U være trekanten med x(R) = T <strong>og</strong> randkurve α med x(α(s)) = γ(s). Vi<br />
husker, at<br />
<br />
K = ˆK|xu ∧ xv| du dv, (15)<br />
T<br />
R<br />
hvor ˆ K(u, v) = K(x(u, v)), sml. do Carmo s. 97. Endelig har vi brug for <strong>Gauss</strong>-<br />
Green-Stokes-sætningen, som fortæller, at for differentiable funktioner A, B : U → R<br />
gælder<br />
<br />
α<br />
<br />
A du<br />
ds<br />
dv<br />
<br />
∂B<br />
+ B =<br />
ds R ∂u<br />
Den venstre side i (16) er kurveintegralet, dvs.<br />
<br />
α<br />
<br />
A du<br />
ds<br />
dv<br />
<br />
+ B =<br />
ds<br />
2<br />
i=0<br />
si+1<br />
si<br />
<br />
A(α(s)) du<br />
ds<br />
Den geodætiske <strong>krumning</strong> er givet i lemma 9.13:<br />
kg(s) =<br />
1<br />
2 √ EG<br />
<br />
Gu<br />
dv<br />
ds<br />
10<br />
− Ev<br />
∂A<br />
<br />
− du dv. (16)<br />
∂v<br />
<br />
+ B(α(s))dv ds.<br />
ds<br />
du<br />
<br />
+<br />
ds<br />
dϕi<br />
ds