9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

Uden bevis anføres:
Sætning 9.17. For en trekant T ⊆ S, indeholdt i en kortomegn og med randkurve
γ er Θ(γ) = ±2π. Fortegnet er +, hvis γ er positivt orienteret.
Bemærk, at det er klart fra definitionen, at tallet Θ(γ) ikke forandres ved kontinuert
deformation af γ. For eksempel kan vi deformere trekanten til en differentiabel
simpel kurve (ved at “afrunde”) hjørnerne gradvist) uden at forandre Θ(γ). For en
glat simpel kurve er ϑi = 0, så at
Θ(γ) = ϕ(b) − ϕ(a) =
b
(a
a
′ b − ab ′ ) ds.
Dette kaldes også omløbstallet for γ ′ : [a, b] → S 1 , (γ ′ (a) = γ ′ (b)). Et bevis for
sætning 9.17 kan findes i do Carmo, §5–7.
Sætning 9.18. Lad T være en trekant i S, og som er indeholdt i et orienteret
ortogonalt kort (U, x). Lad γ være randkurven med positiv orientering og med hjørner
γ(s0), γ(s1) og γ(s2). Så gælder
2
i=0
si+1
si
kg(s) ds +
T
K +
2
ϑi = 2π.
Bevis. Ifølge do Carmo, Exercise 1 i §4–3, er K givet ved formlen
i=0
K = − 1
2 √
Ev Gu
√ + √ . (14)
EG EG v EG u
Lad R ⊆ U være trekanten med x(R) = T og randkurve α med x(α(s)) = γ(s). Vi
husker, at
K = ˆK|xu ∧ xv| du dv, (15)
T
R
hvor ˆ K(u, v) = K(x(u, v)), sml. do Carmo s. 97. Endelig har vi brug for Gauss-
Green-Stokes-sætningen, som fortæller, at for differentiable funktioner A, B : U → R
gælder
α
A du
ds
dv
∂B
+ B =
ds R ∂u
Den venstre side i (16) er kurveintegralet, dvs.
α
A du
ds
dv
+ B =
ds
2
i=0
si+1
si
A(α(s)) du
ds
Den geodætiske krumning er givet i lemma 9.13:
kg(s) =
1
2 √ EG
Gu
dv
ds
10
− Ev
∂A
− du dv. (16)
∂v
+ B(α(s))dv ds.
ds
du
+
ds
dϕi
ds