9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning
9.1 Geodætiske kurver
En ret linie i planen fra punktet p til punktet q har den egenskab at enhver anden
kurve fra p til q har kurvelængde som er mindst |p − q|.
Et stykke af en storcirkel på S 2 er en “ret linie” eller en “geodæt”. Hvis p og q er
to punkter på S 2 , så er der mindst to storcirkelbuer som forbinder p og q. Vi ønsker
at kalde dem alle for geodæter. Ligeledes vil vi kalde kurverne, som starter i p og
gennemløber storcirklen der indeholder de to punkter N gange og derefter følger
storcirklen til q, for en geodætisk kurve.
Hvis p = −q er der netop to storcirkelbuer der forbinder p og q. Lad γ0 være
den korteste og γ1 den anden. Man kan vise, at længden L(γ0) er minimum for
buelængde blandt alle kurver som forbinder p og q. For L(γ1) er situationen mere
kompliceret. Der findes kurver σ som forbinder p og q med L(σ) < L(γ1) og der
findes kurver med L(σ) > L(γ1): γ1 er en ekstremalkurve blandt kurver mellem p og
q m.h.t. buelængde, men hverken et minimum eller et maksimum. Dette motiverer
nedenstående definition af geodætiske kurver på en regulær flade.
En kurve γ : [a, b] → S kaldes differentiabel hvis den kan udvides til en differentiabel
kurve på et åbent interval (a − δ, b + δ) som indeholder [a, b].
En variation af γ, eller en familie af kurver som indeholder γ, er en differentiabel
funktion
som opfylder
ˆγ : (−ε, ε) × (a − δ, b + δ) → S
(i) ˆγ(0, t) = γ(t) for t ∈ [a, b], og
(ii) ˆγ(ϑ, a) = γ(a) og ˆγ(ϑ, b) = γ(b) for alle ϑ ∈ (ε, ε).
Man skriver ofte γϑ(t) = ˆγ(ϑ, t). Vi husker at længden af γϑ er givet ved
L(γϑ) =
b
a
|γ ′ ϑ(t)| dt, hvor γ ′ ϑ = d
dt γϑ.
Vi vil i første omgang kun betragte kurver γ(t) som forløber indenfor en kortomegn
x(U) ⊂ S. Så vil variationerne ˆγ(ϑ, t) også forløbe i x(U) når blot ε er
tilstrækkelig lille.
Definition 9.1. En differentiabel kurve γ : [a, b] → S, som forløber i en kortomgen,
kaldes en geodæt, hvis
for alle variationer γϑ.
d
dϑ L(γϑ)
ϑ=0
= 0 og |γ ′ (t)| = c > 0 (1)
Denne definition udtrykker at længden af γ er ekstremal blandt små variationer
af γ, men ikke at længden af γ er minimal blandt alle kurver som forbinder γ(a)
med γ(b). Bemærk, at vi i definition 9.1 ikke forudsætter, at γ er parametriseret ved
1

uelængde, men blot at γ ′ (t) har konstant længde c > 0. Kurven α(s) = γ(s/c) er
den tilsvarende kurve, som er parametriseret ved buelængde.
Vi antager nu at hele familien γϑ er indeholdt i et kort (U, x). Lad
ˆγ(ϑ, t) = x(û(ϑ, t), ˆv(ϑ, t)),
og sæt (u(t), v(t)) = (û(0, t), ˆv(0, t)), så at γ(t) = x(u(t), v(t)). Det viser sig at
betingelsen i Definition 9.1 er ækvivalent til at (u(t), v(t)) opfylder en 2. ordens
differentialligning. Vi bestemmer denne differentialligning i Sætning 9.3 nedenfor.
Lad
R(ϑ, t) = |γ ′ ϑ(t)| 2 = E
∂û
2 ∂t
+ 2F ∂û ∂ˆv
+ G
∂t ∂t
∂ˆv
2 ,
∂t
hvor E, F og G er koefficienterne i første fundamentalform, og E = E(û(ϑ, t), ˆv(ϑ, t))
etc. Så har vi
∂R
∂ϑ =
∂û
2 ∂û ∂ˆv
∂ˆv
2 ∂û
Eu + 2Fu + Gu
∂t ∂t ∂t ∂t ∂ϑ
∂û
2 ∂û ∂ˆv
∂ˆv
2 ∂ˆv
+ Ev + 2Fv + Gv
∂t ∂t ∂t ∂t ∂ϑ
+ 2 E ∂û ∂ˆv
2 ∂ û
+ F + 2 F
∂t ∂t ∂ϑ∂t ∂û
2 ∂ ˆv
+ G∂ˆv
∂t ∂t ∂ϑ∂t .
(2)
Da
har vi
∂
∂ϑ L(γϑ)
ϑ=0
L(γϑ) =
= 1
2
b
a
b
a
R(ϑ, t) dt,
−1 ∂R
R(0, t) · (0, t) dt (3)
∂ϑ
Nu antog vi i definition 9.1, at |γ ′ (t)| = c (men ikke tilsvarende for γϑ) og derfor, at
R(0, t) = c 2 for alle t. Partiel integration giver
b
a
E ∂û ∂ˆv
2 ∂ û
+ F
∂t ∂t ∂t∂ϑ dt
b
d
= − E
dt
∂û ∂ˆv
+ F
∂t ∂t
a
· ∂û
dt + E
∂ϑ ∂û
∂t
+ F ∂ˆv
∂t
∂û
b .
∂ϑ t=a
Sidste led er 0, da både û(ϑ, a) og û(ϑ, b) er konstante. Vi indsætter (2) i (3) og får
∂
∂ϑ L(γϑ)
=
ϑ=0
1
b
P
c
∂û ∂ˆv
(0, t) + Q (0, t) dt. (4)
∂ϑ ∂ϑ
Her er
P (t) = 1
Euu 2
′2 + 2Fuu ′ v ′ + Guv ′2 − ∂
Q(t) = 1
2
a
∂t
Evu ′2 + 2Fvu ′ v ′ + Gvv ′2 − ∂
∂t
og Eu = Eu(u(t), v(t)) etc., u ′ (t) = du
dt (t) og v′ (t) = dv
dt (t).
2
Eu ′ + F v ′ ,
F u ′ + Gv ′ ,
(5)

Lemma 9.2. Hvis integralet i (4) er nul for enhver variation γϑ af γ, så er P = 0
og Q = 0.
Bevis. Antag modsætningsvist at P (t0) = 0, lad os sige P (t0) > 0. Så er P (t) >
1
2 P (t0) for t tæt ved t0, lad os sige for t ∈ (t0 −δ, t0 +δ). Vælg en funktion ϕ: [a, b] →
R med ϕ(t0) = 1 og ϕ(0) = 0 hvis |t − t0| ≥ δ. Vi betragter variationen
Integraludtrykket (4) bliver
b
a
û(ϑ, t) = u(t) + ϑϕ(t),
ˆv(ϑ, t) = v(t).
P (t)ϕ(t) dt ≥ 1P
(t0) 2
t0+δ
t0−δ
i modstrid med antagelsen. Tilsvarende vises at Q = 0.
ϕ(t) dt > 0
Sætning 9.3. Kurven γ(t) = x(u(t), v(t)) er en geodæt, hvis og kun hvis γ(t) ikke
er konstant og (u(t), v(t)) opfylder differentialligningerne
d
dt
d
dt
′ ′
Eu + F v = 1
Euu 2
′2 + 2Fuu ′ v ′ + Guv ′2 ,
′ ′
F u + Gv = 1
Evu 2
′2 + 2Fvu ′ v ′ + Gvv ′2 .
Bevis. Differentialligningerne (6) udtrykker, at P (t) = 0 og Q(t) = 0, så de gælder
for en geodæt. Hvis på den anden side (6) er opfyldt, så skal vi se i beviset for
sætning 9.4 nedenfor, at 〈γ ′′ (t), γ ′ (t)〉 = 0. Det følger, at
d
dt 〈γ′ (t), γ ′ (t)〉 = 0
og derfor at |γ ′ (t)| = c for alle t. Vi må have c > 0, da vi har forudsat, at γ(t) ikke
er den konstante kurve. Det følger fra (3) og (4), at (1) er opfyldt.
Sætning 9.4. Lad γ være en (ikke konstant) kurve i x(U) ⊂ S. Så er γ en geodæt,
hvis og kun hvis γ ′′ (t) er ortogonal til Tγ(t)S for alle t.
Bevis. Inden for et kort (U, x) er γ(t) = x(u(t), v(t)), og γ ′ = u ′ xu + v ′ xv. Derfor
er γ ′′ (t) ⊥ Tγ(t)S præcis hvis
d
dt (u′ xu + v ′
d
xv), xu = 0, og
dt (u′ xu + v ′
xv), xv = 0.
Men
d
dt (u′ xu + v ′
xv), xu = d
u
dt
′ xu + v ′
xv, xu − u ′ xu + v ′ xv, d
dt xu
= d ′ ′ ′
u E + v F − u xu + v
dt
′ xv, u ′ xuu + v ′
xuv
= d
′ ′
u E + v F
dt
− u ′2 〈xu, xuu〉 + u ′ v ′ 〈xu, xuv〉 + 〈xv, xuu〉 + v ′2 〈xv, xuv〉
′ ′ 1
u E + v F − Euu 2
′2 + 2Fuu ′ v ′ + Guv ′2 ,
= d
dt
3
(6)

hvor det sidste lighedstegn fås ved at anvende ligningerne (2) fra do Carmo, side 232.
Tilsvarende udregnes
d ′
u xu + v
dt
′
xv , xv = d ′ ′
F u + Gv
dt
− 1
Evu 2
′2 + 2Fvu ′ v ′ + Gvv ′2 .
Hvis på den anden side γ ′′ (t) ⊥ Tγ(t)S, så er specielt 〈γ ′′ (t), γ ′ (t)〉 = 0, og det følger,
at |γ ′ (t)| er konstant.
Differentialligningerne i Sætning 9.3 kan omskrives til
ved at udføre differentiationerne
Eu ′′ + F v ′′ + 1
2Euu ′2 + Evu ′ v ′ + (Fv − 1
2Gu)v ′2 = 0
F u ′′ + Gv ′′ + (Fu − 1
2Ev)u ′2 + Guu ′ v ′ + 1
2Gvv ′2 = 0
d ′ ′
Eu + F v
dt
og
d ′ ′
Gu + F v
dt
.
Vi kan nu omskrive (7) ved at indføre Christoffel-symbolerne fra (2) i do Carmo,
side 232. Dette giver (i matrixform)
′′
E F u
F G v ′′
1 Γ11 + u ′2
1 Γ12 + 2 u ′ v ′
1 Γ22 + v ′2
= 0
Γ 2 11
og vi kan multiplicere med den inverse matrix og får følgende korollar.
Korollar 9.5. Kurven γ(t) = x(u(t), v(t)) er en geodæt, hvis og kun hvis (u, v)
opfylder differentialligningerne
u ′′ + Γ 1 11u ′2 + 2Γ 1 12u ′ v ′ + Γ 1 22v ′2 = 0, og v ′′ + Γ 2 11u ′2 + 2Γ 2 12u ′ v ′ + Γ 2 22v ′2 = 0.
Sætning 9.6. Lad p ∈ S og w ∈ TpS med |w| > 0. Så findes et ε > 0 og en entydig
bestemt geodæt γ : (−ε, ε) → S med γ(0) = p og γ ′ (0) = w.
Bevis. Det følger fra Sætning 3.3 i Noter til Geometri 1, at differentialligningerne
fra Korollar 9.5 har netop én løsning (u(t), v(t)) defineret i et lille interval (−ε, ε)
og således at
Γ 2 12
Γ 2 22
(u(0), v(0)) = x −1 (p) og u ′ (0)xu + v ′ (0)xv = w.
Dette giver den entydigt bestemte geodæt γ(t) = x(u(t), v(t)) for |t| < ε. Thi γ
opfylder (6) og |γ ′ (t)| = |w|, da |γ ′ (t)| er konstant og |γ ′ (0)| = |w|.
Vi husker fra §3–2 af do Carmo, at hvis α er en kurve i S som er parametriseret
ved buelængde (|α ′ (s)| = 1), så er dens normalkrumning kn(s) projektionen af
α ′′ (s) = k(s)n(s) på N(s) = N(α(s)), hvor N : S → S 2 er en Gauss-afbildning:
kn(s) = 〈α ′′ (s), N(s)〉 = IIα(s)(α ′ (s)).
Vi kan også projicere α ′′ (s) på Tα(s)S. I Tα(s)S kan vi bruge {α ′ (s), N(s) ∧ α ′ (s)}
som ortonormalbasis. Da 〈α ′′ (s), α ′ (s)〉 = 0, er projektionen af α ′′ (s) på Tα(s)S proportional
med N(s) ∧ α ′ (s).
4
(7)

Definition 9.7. Den geodætiske krumning af α(s) er
kg(s) = 〈α ′′ (s), N(s) ∧ α ′ (s)〉α(s).
Da α ′′ (s) ligger i planen udspændt af N(s) og N(s) ∧ α ′ (s), og da kn(s) og kg(s)
er projektionerne på de to akser, giver Pythagoras,
k(s) 2 = kn(s) 2 + kg(s) 2 . (8)
Bemærk at α er en geodæt præcis hvis kg = 0, og at krumningen k(s) = |α ′′ (s)| i
dette tilfælde er den numeriske værdi af kn(s). Thi kg(s) = 0 medfører, at α ′′ (s) er
ortogonal på tangentplanen.
Det er ikke umiddelbart oplagt fra definition 9.1, at hvis γ : [a, b] → S er en
geodæt, så gælder det samme for restriktionen af γ til ethvert delinterval af [a, b].
Men dette følger fra ovenstående, som viser:
α(s) er en geodæt parametriseret ved buelængde, hvis og kun hvis kg(s) = 0. (9)
Vi afslutter med at nævne et par sætninger om geodætiske kurver, som vi dog ikke
skal bevise. Det første resultat fortæller, at geodæter er lokalt længdeminimaliserende,
dvs.
Sætning 9.8. Lad p ∈ S. Der findes en omegn U ′ af p, og som har følgende egenskab.
Lad γ : [a, b] → U ′ være en geodæt med γ(a) = p, og lad β : [a, t0] → S være
en kurve med β(a) = γ(a) og β(t0) = γ(t0). Så er
t0
a
|γ ′ (t)| dt ≤
t0
a
|β ′ (t)| dt.
(Bevis kan findes i do Carmo, side 293).
En delmængde W ⊆ S kaldes geodætisk konveks, hvis to vilkårlige punkter
p, q ∈ W kan forbindes med en (minimal) geodætisk kurve.
Sætning 9.9. Lad p ∈ S, og lad U ′ være en vilkårlig omegn af p. Så findes en
geodætisk konveks omegn W med p ∈ W ⊆ U ′ .
(Bevis kan findes i do Carmo, side 305).
Hidtil har vi kun betragtet geodætiske kurver lokalt, men vi kan bruge (9) til at
udvide begrebet.
Definition 9.10. En kurve γ : [a, b] → S kaldes en geodæt hvis |γ ′ (t)| = c > 0 for
alle t, og hvis den geodætiske krumning af den reparametriserede kurve γ( s)
er nul
c
for alle s ∈ [ac, bc].
Sætning 9.6 fortæller os, at geodæter eksisterer for t i et lille interval (−ε, ε).
Dette motiverer følgende definition.
En flade S kaldes komplet, hvis der for ethvert p ∈ S gælder, at en geodæt
γ : [0, ε) → S med γ(0) = p kan udvides til en geodæt γ : R → S.
Sætning 9.11 (Hopf-Rinow). Lad S være en komplet sammenhængende flade. Til
to vilkårlige punkter p, q ∈ S findes der en minimal geodæt, som forbinder dem.
(Bevis kan findes i do Carmo, side 333–334).
Endelig bemærker vi, at enhver kompakt flade er komplet.
5

9.2 Gauss-krumning via geodætiske trekanter
Denne paragraf indeholder et nyt bevis for, at Gauss-krumningen kun afhænger af
første fundamentalform. Vi vil betragte geodætiske trekanter indeholdt i en orienteret
flade S. Hovedresultatet er følgende formel for Gauss-krumningen:
K(p) = lim
T →p
1
Area(T ) (ψ0 + ψ1 + ψ2 − π), (10)
hvor T gennemløber geodætiske trekanter, som indeholder punktet p, og hvor ψ0,
ψ1 og ψ2 er de indre vinkler. Da både areal og vinkler kan beregnes fra første fundamentalform,
giver (10) et nyt og mere konkret bevis for Theorema Egregium.
I resten af denne paragraf er S en orienteret flade og N : S → S 2 er den tilhørende
Gauss-afbildning.
Vi skal udelukkende betragte kort (U, x) på S med den egenskab, at første fundamentalform
er på formen
Ip(u ′ xu + v ′ xv) = Eu ′2 + Gv ′2 ,
dvs. kort, hvor F = 0. For sådanne kort er e1 = xu/|xu| og e2 = xv/|xv| en
ortonormalbasis for TpS. Vi kalder dem ortogonale kort. Man kan vise, at ethvert
p ∈ S er indeholdt i et ortogonalt kort.
Lad α(s) = x(u(s), v(s)) være en kurve på S indeholdt i U ′ = x(U) og parametriseret
ved buelængde. Så er
α ′ (s) = u ′ (s)xu + v ′ (s)xv = a(s)e1 + b(s)e2
af længde 1. Da e1 = xu/|xu| og e2 = xv/|xv| er en ortonormalbasis, er
Lemma 9.12. Kurven
opfylder
ϕ(s) = ϕ0 +
a(s) 2 + b(s) 2 = 1.
s
(a(s)b ′ (s) − b(s)a ′ (s)) ds
s0
cos ϕ(s) = a(s) og sin ϕ(s) = b(s)
såfremt cos ϕ0 = a(s0) og sin ϕ(s0) = b(s0).
Bevis. Vi skal godtgøre, at
(11)
e iϕ(s) = a(s) + ib(s). (12)
Vi differentierer ligning (12) og multiplicerer resultatet med e −iϕ(s) ; det giver
iϕ ′ (s) = (a ′ (s) + ib ′ (s))(a(s) − ib(s))
= i(b ′ (s)a(s) − a ′ (s)b(s)) + (a ′ (s)a(s) + b ′ (s)b(s))
= i(b ′ (s)a(s) − a ′ (s)b(s)).
6

Thi ved differentiation af ligningen a(s) 2 + b(s) 2 = 1 ses, at a ′ (s)a(s) + b ′ (s)b(s) = 0.
Det følger, at
ϕ(s) = ϕ0 +
s
(ab ′ − a ′ b) ds.
Omvendt, lad ϕ være defineret ved ovenstående integral med ϕ0 valgt, så at
Så giver ovenstående udregninger, at
s0
a(s0) = cos ϕ0 og b(s0) = sin ϕ0.
d
ds eiϕ(s) = a ′ (s) + ib ′ (s)
og dermed e iϕ(s) = a(s) + ib(s) + c0, hvor c0 er en konstant. Sæt s = s0 for at se, at
c0 = 0.
Funktionen ϕ(s) kaldes vinkelvariationen for kurven α(s). Den måler vinklen
mellem e1 = xu/|xu| og α ′ (s) i tangentrummet Tα(s)S. Bemærk dog, at selvom
0 ≤ ϕ0 ≤ π, så behøver ϕ(s) ikke at ligge i dette interval: ϕ(s) måler vinklen mellem
e1 og α ′ (s) op til et helt multiplum af 2π.
I §9.1 indførte vi den geodætiske krumning kg for en kurve α, og så at kg(s) = 0
for en geodætisk kurve, som er parametriseret ved buelængde.
Lemma 9.13. I et orienteret ortogonalt kort er den geodætiske krumning for kurven
α(s) = x(u(s), v(s)) givet ved formlen
kg(s) =
1
2 √ EG
Gu
dv
ds
− Ev
du
+
ds
dϕ
ds ,
hvor E(s) = E(u(s), v(s)) og G(s) = G(u(s), v(s)), og hvor ϕ er vinkelvariationen
af α.
Bevis. Den geodætiske krumning langs α er givet ved
kg(s) = 〈α ′′ (s), N(s) ∧ α ′ (s)〉,
hvor N(s) = N(α(s)). Lad ei(s) = ei(u(s), v(s)) for i = 1, 2, hvor som ovenfor
Som i lemma 9.12 har vi
og derfor
e1 = xu
√E , e2 = xv
√G .
α ′ (s) = cos ϕ(s) e1(s) + sin ϕ(s) e2(s),
α ′′ (s) = −ϕ ′ sin ϕ e1 + ϕ ′ cos ϕ e2 + cos ϕ e ′ 1 + sin ϕ e ′ 2
Da (U, x) er et orienteret kort, er e1 ∧ e2 = N, og dermed er N ∧ e1 = e2 og
N ∧ e2 = −e1, så
N(s) ∧ α ′ (s) = cos ϕ e2 − sin ϕ e1.
7

Da {e1, e2} er en ortonormalbasis ses ved differentiation af 〈ei, ej〉 = δij, at
En lille udregning giver så
〈e ′ 1, e1〉 = 0, 〈e ′ 2, e2〉 = 0, 〈e ′ 1, e2〉 + 〈e1, e ′ 2〉 = 0.
〈α ′′ (s), N(s) ∧ α ′ (s)〉 = ϕ ′ (s) + 〈e ′ 1(s), e2(s)〉.
På den anden side er
〈e ′
d
1(s), e2(s)〉 =
ds e1(u(s),
v(s)), e2(s) = 〈u ′ e1u + v ′ e1v, e2〉
= 1
Gu
√ v
2 EG ′ − Ev
√ u
EG ′
.
Det sidste lighedstegn bruger, at F = 0 og differentiation af 〈xu, xv〉 = 0 m.h.t. u,
som giver, at
Det følger, at
Tilsvarende vises
〈xuu, xv〉 = −〈xu, xvu〉 = −〈xu, xuv〉 = − 1
2 Ev.
〈e1u, e2〉 =
xu
√E ,
u
xv
√G
〈e1v, e2〉 = 1 Gu
√ .
2 EG
Dette godtgør formlen, og beviset er færdigt.
En simpel lukket kurve i S er en kontinuert kurve
γ : [a, b] → S
= − 1 Ev
√ .
2 EG
med γ(a) = γ(b) og således, at restriktionen af γ til det halvåbne interval [a, b) er
injektiv.
En simpel lukket kurve kaldes stykkevist differentiabel, hvis der er en inddeling
a = s0 < s1 < · · · < sk+1 = b
således, at restriktionen γi af γ til intervallet [si, si+1] er differentiabel. Vi antager
endvidere, at γi er parametriseret ved buelængde således, at |γ ′ i(s)| = 1.
Vi minder om, at en basis {v1, v2} i TpS kaldes positiv, såfremt (v1∧v2)/|v1∧v2| =
N(p) og negativ, hvis (v1 ∧ v2)/|v1 ∧ v2| = −N(p).
Definition 9.14. Den orienterede vinkel mellem to vektorer v1, v2 ∈ TpS er tallet
−π < ϑ < π bestemt ved
(i) cos ϑ = 〈v1, v2〉/(|v1| |v2|), og
(ii) ϑ > 0, hvis og kun hvis {v1, v2} er en positiv basis.
Den orienterede vinkel vil blive betegnet med ∡(v1, v2).
8

Lad os betragte en trekant T ⊆ S, som er indeholdt i kortområdet U ′ = x(U).
Det betyder, at randkurven γ er en simpel lukket kurve, som er stykkevist differentiabel
med
a = s0 < s1 < s2 < s3 = b.
Hjørnerne af T er A0 = γ(s0) = γ(s3), A1 = γ(s1) og A2 = γ(s2).
De eksterne vinkler ϑ0, ϑ1 og ϑ2 for T defineres som de orienterede vinkler mellem
γ ′ i−1(si) og γ ′ i(si):
ϑi = ∡(γ ′ i−1(si), γ ′ i(si)), i = 1, 2, 3, ϑ3 = ϑ0. (13)
Det bemærkes, at ϑi skifter fortegn, hvis gennemløbsretningen for γ vendes: f.eks.
∡(γ ′ 0(s1), γ ′ 1(s1)) = −∡(−γ ′ 1(s1), −γ ′ 0(s1))
fordi {γ ′ 0(s1), γ ′ 1(s1)} og {−γ ′ 1(s1), −γ ′ 0(s1)} har modsatte orienteringer.
Lad ni(s) ∈ Tγi(s)S være en vinkelret på γ ′ i(s) og pegende ind i trekanten T .
Vi kalder γ positivt orienteret, hvis {γ ′ i(s), ni(s)} er en positivt basis for Tγi(s)S for
si ≤ s < si+1 og i = 0, 1, 2. Lad ϕi(s) være vinkelvariationen for γi(s),
hvor γ ′ i(s) = ai(s)e1 + bi(s)e2.
ϕi(s) = ∡(e1, γ ′ i(si)) +
s
(a ′ ibi − aib ′ i) ds,
Definition 9.15. Den totale vinkelvariation for γ er tallet
Θ(γ) =
si
2
(ϕi(si+1) − ϕi(si)) +
i=0
2
ϑi.
Lemma 9.16. Den totale vinkelvariation Θ(γ) er et helt multiplum af 2π.
Bevis. For si ≤ s < si+1 har γ ′ i(s) koordinaterne (cos ϕi(s), sin ϕi(s)) i basen {e1, e2}.
Ved at gå en tur rundt i trekanten, ser vi, at
(cos ϕ0(s0), sin ϕ0(s0)) = (cos(ϕ0(s0) + Θ(γ)), sin(ϕ0(s0) + Θ(γ)))
og derfor, at Θ(γ) ∈ 2πZ.
9
i=0

Uden bevis anføres:
Sætning 9.17. For en trekant T ⊆ S, indeholdt i en kortomegn og med randkurve
γ er Θ(γ) = ±2π. Fortegnet er +, hvis γ er positivt orienteret.
Bemærk, at det er klart fra definitionen, at tallet Θ(γ) ikke forandres ved kontinuert
deformation af γ. For eksempel kan vi deformere trekanten til en differentiabel
simpel kurve (ved at “afrunde”) hjørnerne gradvist) uden at forandre Θ(γ). For en
glat simpel kurve er ϑi = 0, så at
Θ(γ) = ϕ(b) − ϕ(a) =
b
(a
a
′ b − ab ′ ) ds.
Dette kaldes også omløbstallet for γ ′ : [a, b] → S 1 , (γ ′ (a) = γ ′ (b)). Et bevis for
sætning 9.17 kan findes i do Carmo, §5–7.
Sætning 9.18. Lad T være en trekant i S, og som er indeholdt i et orienteret
ortogonalt kort (U, x). Lad γ være randkurven med positiv orientering og med hjørner
γ(s0), γ(s1) og γ(s2). Så gælder
2
i=0
si+1
si
kg(s) ds +
T
K +
2
ϑi = 2π.
Bevis. Ifølge do Carmo, Exercise 1 i §4–3, er K givet ved formlen
i=0
K = − 1
2 √
Ev Gu
√ + √ . (14)
EG EG v EG u
Lad R ⊆ U være trekanten med x(R) = T og randkurve α med x(α(s)) = γ(s). Vi
husker, at
K = ˆK|xu ∧ xv| du dv, (15)
T
R
hvor ˆ K(u, v) = K(x(u, v)), sml. do Carmo s. 97. Endelig har vi brug for Gauss-
Green-Stokes-sætningen, som fortæller, at for differentiable funktioner A, B : U → R
gælder
α
A du
ds
dv
∂B
+ B =
ds R ∂u
Den venstre side i (16) er kurveintegralet, dvs.
α
A du
ds
dv
+ B =
ds
2
i=0
si+1
si
A(α(s)) du
ds
Den geodætiske krumning er givet i lemma 9.13:
kg(s) =
1
2 √ EG
Gu
dv
ds
10
− Ev
∂A
− du dv. (16)
∂v
+ B(α(s))dv ds.
ds
du
+
ds
dϕi
ds

for si ≤ s ≤ si+1. Fra (16) og (14) følger det, at
kg =
α
1
2
= −
R
R
si+1
2
Ev Gu
√ + √ du dv +
EG v EG u
i=0 si
ϕ ′ i(s) ds (17)
ˆK √ 2
EG du dv + (ϕi(si+1) − ϕi(si)). (18)
i=0
Men |xu ∧ xv| = √ EG, så (15) giver, at
ˆK √
EG =
Endelig anvender vi sætning 9.17.
R
Korollar 9.19. Hvis trekanten T i sætning 9.18 har geodætiske sider, så er
K = 2π − (ϑ0 + ϑ1 + ϑ2) = (ψ0 + ψ1 + ψ2) − π,
hvor ψi = π − ϑi er de indre vinkler.
T
Arealet Area(T ) af trekanten T er
Area(T ) = 1 =
T
R
T
K.
|xu ∧ xv| du dv.
Hvis T1, T2, . . . er en følge af geodætiske trekanter, som alle indeholder punktet p ∈ S,
og som konvergerer mod p, så gælder
1
K → K(p).
Area(Ti)
Det følger fra korollar 9.19, at
Ti
1
K(p) = lim
i→∞ Area(Ti) (π − ψ0 − ψ1 − ψ2),
og derfor, som nævnt i (10), at K kun afhænger af første fundamentalform.
11