Hele Et første kursus i teoretisk statistik. Anden udgave. Version 9.2 ...

28 KAPITEL 3. SUFFICIENS
Bevis. Vi viser først at (3.4) medfører at T er sufficient. Lad ˜µ være sandsynlighedsmålet
fra Lemma 3.3. Så siger antagelsen (3.4) at
dP
d ˜µ (x) = gP(t(x)) ˜ k(x), k(x) ˜
k(x)
= . (3.5)
φ(x)
Vi vil vise at T er sufficient ved at konstruere en markovkerne og vise at denne kan
bruges som betinget sandsynlighed givet T under P for ethvert P ∈ P.
Definer
h(t) = ˜k(x) ˜µ T (dx|t), D = {t|0 < h(t) < ∞}.
Fra Observation 2.17 og (3.5) har vi
dPT
(t) = gP(t(x))
d ˜µT
˜ k(x) ˜µ T (dx|t) = gP(t)h(t),
og
PT(D c
) =
Dc gP(t)h(t) ˜µT(dt) = 0,
da integralet vil være enten 0 eller uendelig, men sandsynligheden skal være mindre
end eller lig med 1. Definer nu
f (x|t) =
˜k(x)
h(t)
t ∈ D
1 t /∈ D,
F(A|t) =
A
f (x|t) ˜µ T (dx|t).
Så er F en markovkerne og denne vil være vores kandidat til den fælles betingede
sandsynlighed for P ∈ P. Da
F(A|t)PT(dt) =
B
(11.1) =
=
B∩D
A
˜k(x)
h(t) ˜µT
(dx|t) gP(t)h(t) ˜µT(dt)
1B∩D(t(x))1A(x)gP(t(x)) ˜ k(x) ˜µ(dx)
1B∩D(t(x))1A(x)P(dx)
= P(A ∩ t −1 (B))
ses at F er betinget sandsynlighed givet T under P og T er derfor sufficient.
For at vise den omvendte implikation antager vi nu at T er sufficient og skal vise
(3.4). Lad π(·|·) være den fælles betingede sandsynlighed for P ∈ P, og lad sandsynlighedsmålet
˜µ være som ovenfor. Da P har tæthed m.h.t. ˜µ definerer vi
Idet
gP(t) = dPT
(t) og
d ˜µT
˜ k(x) = k1(x, t(x)) med k1(x, t) = dπ(·|t)
d ˜µ T (·|t) (x).
P(A) = π(A|t)PT(dt) = 1A(x)π(dx|t) PT(dt)
= 1A(x)k1(x, t) ˜µ T
(dx|t) gP(t) ˜µT(dt)
= 1A(x)gP(t(x)) ˜ k(x) ˜µ(dx)