Slides: Sandsynligheder (Ny: 2006)

Statistik og Databehandling N: 

sandsynligheder 

Kursushjemmeside: 

http://www.imf.au.dk/kurser/ 

statdatabehandling/F06/ 

Jens Ledet Jensen 

Statistik og Databehandling N: sandsynlighederKursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/statdatabehandling/F06/ – p. 1/20

Praktiske bemærkninger 

Bog: Købes i Stakbogladen 

Ugesedler og noter: downloades fra hjemmesiden 

Tavle: Udenfor Aud E. 

Bokse til aflevering: 

Informationskontoret under instruktornavn 

Opgavesæt: nye opgaver samt små omformuleringer af 

opgaver fra bog. Kig altid her før I kigger i bogen. 

Fordelinger 

Estimation og test: katalog 


Eksempel: 

Hvad skal vi med statistik? 

Aar 2003 2004 2005 

♯ grov vold 200 215 230 

Nyhed i TV: kraftig stigning i grov vold. Er dette rigtigt? 

Kan tallene forklares ved tilfældige udsving? 

• population • sandsynligheder 

Har måden at opgøre tallene på ændret sig? 

Eksempel: Solsvingninger/jordtemperatur 

Svært: usikkerhed i tallene - hvad betyder en tilfældig 

sammenhæng 

Finde fysisk forklaring på sammenhæng 


Kosmisk stråling 


Søndagsavisen 


Sessionstal 

total BMI>30 procent 

F03 11527 796 6.9 

E03 12259 825 6.7 

http://forsvaret.dk/FVR/V%C3%A6rnepligt/Statistiske+oplysninger/BMI/ 


Statistik 

Al statistisk argumentering er baseret på sandsynligheder 

Typisk / Ikke-typisk 

Timerne i dag: Sandsynligheder 

Oversigt over kurset? 

Følger bogen 

Undtagelse: kapitel 8 overspringes, kapitel 12 hvis tid 


Sandsynligheder 

Hvad er en sandsynlighed? ss 

(a) ss for plat eller krone i møntkast: 1 2 

(b) ss for en 6-er i terningekast: 1 6 

(c) ss for 2 6-er i kast med to terninger: 1 

36 = 1 6 · 1 6 

(d) ss for 4 esser i 13 ud af 52 kort: 13 

52 

(Placere es 1, dernæst es 2 osv) 

· 12 

51 

· 11 

50 

(e) ss for en ulykke under flystart: ? 

(f) ss for et biluheld på Grenåvej i myldretid: ? 

(g) ss for solskinsvejr i morgen: ? 

· 10 

49 

= 0.0026 

(h) ss for at vinde landskampen mod Sverige i 2005: ? 


SS: fysisk definition 

Definition ("fysisk"): ss for en hændelse er den frekvens 

hvormed hændelsen optræder i uafhængige gentagelser 

(a)-(d): passer fint 

(e): antal ulykker / antal starter 

(g): finde dage med vejr der ligner i dag, tælle op hvor 

mange der havde sol dagen efter 

(h): duer ikke: hver ny kamp er en ny situation 


SS: fysisk definition 

0 ≤ ss ≤ 1 optræder altid: ss=1 optræder aldrig: ss=0 

A: en hændelse (Ex: få en 6-er i terningekast) 

 

1 hvis A optræder i j’te gentagelse 

Ij(A) = 

0 hvis A ikke optræder 

Så er frekvensen i n gentagelser 

n 

j=1 Ij(A) 

ss = grænseværdien når n → ∞ 

= P(A) 

FIGUR 

n 


SS: P(A ∪ B) 

A og B er disjunkte hændelser: 

hvis A optræder så er B udelukket, og omvendt 

Ex: A: få en 6-er i terningekast; B: få en 5-er 

A ∪ B: A optræder eller B optræder 

Ij(A ∪ B) = Ij(A) + Ij(B) når de er disjunkte 

n 

j=1 Ij(A ∪ B) 

n 

Derfor må der gælde 

= 

n 

j=1 Ij(A) 

n 

+ 

n 

j=1 Ij(B) 

n 

P(A ∪ B) = P(A) + P(B), A og B er disjunkte 


Sandsynlighedsmodel 

Definition ("matematisk"): 

1) Udfaldsrum (ofte betegnet med Ω): 

indeholder alle mulige resultater af et eksperiment 

Ex1: Kaste en mønt Ω = {pl,kr} 

Ex2: Kaste en terning Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

Ex3: Kaste en mønt to gange 

Ω = {(pl,pl), (pl,kr), (kr,pl), (kr,kr)} 


SS-model: hændelser 

2) En samling af hændelser (hændelsesalgebra A = "de 

spørgsmål vi kan stille" 

hændelse: delmængde af udfaldsrum 

Ex1: Ω = {pl,kr}, hændelsen krone {kr} 

Ex2: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, hændelsen et lige antal øjne 

{2, 4, 6} 

Ex3: Ω = {(pl,pl), (pl,kr), (kr,pl), (kr,kr)}, 

hændelsen mindst een krone {(pl,kr), (kr,pl), (kr,kr)} 

Krav til A: 

Hvis A ∈ A og B ∈ A så er A ∪ B ∈ A og A ∩ B ∈ A 

A ∪ B: enten A eller B (eller dem begge) 

A ∩ B: både A og B 

Ω ∈ A (den sikre hændelse) 

∅ ∈ A (∅ = den tomme mængde) 


SS-model: hændelser 

Ex4: Kaste en terning to gange 

Ω = {(1, 1), (1, 2),... , (1, 6), (2, 1),... , (2, 6),...,(6, 6)} 

(36 elementer) 

A = 6-er i kast 1 A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 

B = 6-er i kast 2 B = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)} 

A ∩ B = 6-er i begge kast A ∩ B = {(6, 6)} 

A ∪ B = mindst een 6-er A ∪ B har 11 elementer 


SS-model: ss-mål 

3) Et sandsynlighedsmål P 

For enhver hændelse A ∈ A angiver P(A) ss: 

0 ≤ P(A) ≤ 1 P(Ω) = 1 P(∅) = 0 

P(A ∪ B) = P(A) + P(B), hvis A og B er disjunkte 

(husk den "fysiske" ss) 

Ex1: P({kr}) = 1 2 

Ex2: 

P(lige antal øjne) = P({2})+P({4})+P({6}) = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 1 2 

Ex3: P(mindst een krone) = 

P({(pl,kr)}) + P({(kr,pl)}) + P({(kr,kr)}) = 1 4 + 1 4 + 1 4 = 3 4 


Additionssætningen 

A og B er to mængder, ikke nødvendigvis disjunkte 

C = A ∩ B A0 = A \ C B0 = B \ C 

Så er A ∪ B = A0 ∪ B0 ∪ C A0,B0,C er disjunkte 

Dermed 

P(A ∪ B) = P(A0 ∪ B0 ∪ C) = P((A0 ∪ B0) ∪ C) 

= P(A0 ∪ B0) + P(C) = P(A0) + P(B0) + P(C) 

= P(A0) + P(C) + P(B0) + P(C) − P(C) 

= P(A) + P(B) − P(C) 

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 

Ex4: P(mindst een 6-er i to kast) = 1 

6 

+ 1 

6 

− 1 

36 

= 11 

36 

P(6-er i første) + P(6-er i anden) − P(6-er i begge) 


Population 

Situation: Indsamling af data fra en population 

Ω = populationen 

P svarer til at et individ vælges tilfældigt 

Ex1: Møntkast. Population: pl og kr 

Ex2: Population = danske mænd over 20 år - ønsker at 

undersøge deres højde 

Ω = {ω1,ω2,...,ωk}, population har k individer 

P({ωi}) = 1 k tilfældig udvælgelse: alle individer er lige 

sandsynlige 

P(tilfældig udvalgt person hedder Jensen)? 

Hvis A er en delmængde af Ω får vi P(A) = |A| 

k hvor |A| er 

antallet af individer i A. P(A) = andelsfunktionen. 

Hvis vi tilfældigt udvælger m individer fra en population 

kaldes dette en stikprøve 


Ex: Radioaktivt henfald 

Experiment: registrerer antal klik i geigertæller i et givet 

tidsrum stammende fra et radioaktivt materiale 

Ω = {0, 1, 2,...} alle ikke-negative heltal 

P(i) ? Der er ikke et symmetri eller "lige store ss" 

argument 

Grænseargument: meget stort antal atomer, kun få af disse 

henfalder i et givet tidsrum → 

P(i) = poissonsandsynlighed 

At argumentet er korrekt eftervises ved mange gentagelser 

af forsøget, jvf "fysiske" definition af ss 


Ingen statistik uden data 

Pige- og drengehøjder blandt deltagere i kurset 

Plot 

Er der forskel på højden af piger og drenge? 

Hvad mener vi med dette spørgsmål? 

Bagvedliggende population? 


Opsummering 

Udfaldsrum Ω: 

alle muligheder for resultat af experiment 

Sandsynlighedsmål P : 

frekvens i uafhængige gentagelser

Slides: Sandsynligheder (Ny: 2006)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?