fc1-8

Oversigt ☞ [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.10
Nøgleord og begreber
✌ Seks berømte potensrækker
✌ Potensrække
✌ Konvergensradius
✌ Differentiation og integration af potensrækker
✌ Taylor og MacLaurin rækker
✌ August 2002, opgave 4
✌ Løsning af diff.-ligninger ved hjælp af rækker
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 1
Cosinus og Sinus rækkerne ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Cosinusrækken
For alle tal x ∈ R gælder
Sinusrækken
For alle tal x ∈ R gælder
cos x = 1 − x2 x4
+ − . . .
2! 4!
sin x = x − x3 x5
+ − . . .
3! 5!
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 3
En potensrække ☞ [S] 8.5 Power series
Definition
En potensrække med centrum i a er et udtryk af form
c0 + c1(x − a) 1 + c2(x − a) 2 + c3(x − a) 3 + . . .
cn’erne kaldes rækkens koefficienter.
Skrives også
2
∞
cn(x − a) n
n=0
Bemærk c0(x − a) 0 = c0, da (x − a) 0 = 1.
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 5
Eksponentialrækken ☞ [S] 8.5 Power series
Eksempel
Eksponentialrækken
e x = 1 + x x2 x3
+ + + . . .
1! 2! 3!
er en potensrække med centrum i a = 0. Koefficienterne er
c0 = 1, c1 = 1/1!, c2 = 1/2!, c3 = 1/3!, . . .
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 7
Den geometriske række og eksponentialrækken ☞ [S] 8.7 Taylor ...
Den geometriske række
For alle tal x med |x| < 1 gælder
Eksponentialrækken
For alle tal x ∈ R gælder
1
1 − x = 1 + x + x2 + x 3 + . . .
e x = 1 + x x2 x3
+ + + . . .
1! 2! 3!
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 2
Logaritme- og Arctan rækkerne ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Logaritmerækken
For alle tal x med 0 < x ≤ 2 gælder
(x − 1)2
ln x = (x − 1) − +
2
(x − 1)3
− . . .
3
Arctan rækken
For alle x med −1 ≤ x ≤ 1 gælder
Arctan x = x − x3 x5
+ − . . .
3 5
(En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.)
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 4
Logaritmerækken ☞ [S] 8.5 Power series
Eksempel
Logaritmerækken
(x − 1)2
ln x = (x − 1) − +
2
(x − 1)3
− . . .
3
er en potensrække med centrum i a = 1.
Koefficienterne er c0 = 0, c1 = 1, c2 = − 1
2 , c3 = 1
3
, . . .
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 6
Konvergens ☞ [S] 8.5 Power series
3 Sætning
For en potensrœkke med centrum i a
er der netop 3 muligheder
∞
cn(x − a) n
n=0
(i) Konvergerer kun for x = a
(ii) Konvergerer for alle x
(iii) Der findes et tal R > 0 så rœkken er konvergent for
|x − a| < R og divergent for |x − a| > R
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 8

Konvergens ☞ [S] 8.5 Power series
Definition
For en potensrække er konvergensradius
(i) R = 0
(ii) R = +∞
(iii) R > 0
Konvergensradius skiller konvergens og divergens.
(a − R, a + R)
er konvergensintervallet.
Sommetider er det ene, eller begge, endepunkter med i
konvergensintervallet.
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 9
Ledvis differentiation ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
2 Sætning
Hvis en potensrœkke har konvergensradius R > 0, så er
sumfunktionen
∞
f(x) = cn(x − a) n
n=0
differentiabel i konvergensintervallet, og har afledet f ′ givet ved
ledvis differentiation.
Bemærk
Den ledvis differentierede række har samme konvergensradius
som den oprindelige række.
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 11
Bestemt integration ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Bemærkning
Også bestemt integration kan udføres ledvis i
konvergensintervallet,
b
a
f(x) dx =
b
a
c0 dx +
b
a
c1x dx +
b
(forudsat at a og b tilhører konvergensintervallet).
a
c2x 2 dx + . . .
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 13
Geometrisk række ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Eksempel 5
Differentier den geometriske række
1
1 − x = 1 + x + x2 + x 3 + . . . =
1
(1 − x) 2 = 1 + 2x + 3x2 + . . . =
∞
x n
n=0
∞
(n + 1)x n
n=0
Konvergensradius er 1, centrum er 0, rækken er konvergent for
−1 < x < 1, divergent for |x| > 1. I konvergensintervallet
fremstiller rækken 1/(1 − x) 2 .
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 15
Konvergens af logaritmerækken ☞ [S] 8.5 Power series
Eksempel
Logaritmerækken
(x − 1)2
ln x = (x − 1) − +
2
(x − 1)3
− . . .
3
har centrum i a = 1, konvergensradius R er = 1: rækken er
konvergent for 0 < x < 2, divergent for x < 0 og for x > 2.
Logaritmerækken er konvergent i højre endepunkt,
ln 2 = 1 − 1 1 1
+ − + . . . .
2 3 4
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 10
Ledvis integration ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
2 Sætning
Hvis en potensrœkke har konvergensradius R > 0, så kan en
stamfunktion til sumfunktionen
f(x) =
∞
cn(x − a) n
n=0
angives ved ledvis stamfunktion-dannelse.
Bemærk
Den ledvis integrerede række har samme konvergensradius som
den oprindelige række.
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 12
Ledvis diff. og int., igen ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
2 Sætning
f(x) =
(i) f ′ (x) =
(ii)
∞
cn(x − a) n
n=0
∞
ncn(x − a) n−1
n=1
f(x) dx = C +
∞
n=0
cn
1
(x − a)n+1
n + 1
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 14
Geometrisk række ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Eksempel 6
Integrerer den geometriske række
1
1 − x = 1 + x + x2 + x 3 + . . . =
− ln(1 − x) = x + x2 x3
+
2 3
∞
x n
n=0
x4
+ . . . =
4
∞
n=1
Konvergensradius er 1, centrum er 0, rækken er konvergent for
−1 < x < 1, divergent for |x| > 1.
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 16
x n
n

En logaritmerække ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Eksempel 6 - fortsat
− ln(1 − x) = x + x2 x3
+
2 3
− ln(1 − (1 − z)) = (1 − z) +
x4
+ . . . for − 1 < x < 1
4
(1 − z)2
2
+ (1 − z)3
3
eller
(z − 1)2
ln z = (z − 1) − +
2
(z − 1)3
− . . .
3
(substituer 1 − z for x; gælder for 0 < z ≤ 2).
+ . . .
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 17
Gentagen differentiation ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Udregning
f(x) = c0 + c1x + c2x 2 + c3x 3 + c4x 4 + . . .
f ′ (x) = c1 + 2c2x + 3c3x 2 + 4c4x 3 + . . .
f ′′ (x) = 2 · c2 + 3 · 2 · c3x + 4 · 3 · c4x 2 + . . .
f ′′′ (x) = 3 · 2 · 1 · c3 + 4 · 3 · 2 · c4x + . . .
f (4) (x) = 4 · 3 · 2 · 1 · c4 + 5 · 4 · 3 · 2 · c5x + . . .
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 19
Gentagen differentiation ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Udregning - fortsat
eller
f (n) (0) = n! · cn
cn = f (n) (0)
n!
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 21
Taylor-udvikling, centrum a ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Observation
f(x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a) 2 + c3(x − a) 3 + . . .
kan skrives
f(x) = f(a)+f ′ (a)(x−a)+ f ′′ (a)
2!
eller
f(x) =
∞
n=0
(x−a) 2 + f ′′′ (a)
(x−a)
3!
3 +. . .
f (n) (a)
(x − a)
n!
n
(“Taylor-rækken for f med centrum i a”, eller
“Taylor-udviklingen af f ud fra a”)
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 23
Arctan rækken ☞ [S] 8.6 Representations of functions . . .
Eksempel 7
For |x| < 1 er | − x 2 | < 1, så for sådanne x fås ved substitution i
den geometriske række
Integreres ledvis fås
1
1 + x 2 = 1 − x2 + x 4 − x 6 + . . .
Arctan(x) = x − x3 x5
+ − . . .
3 5
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 18
Gentagen differentiation ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Udregning - fortsat
Indsættes x = 0, fås
generelt
eller
f(0) = c0, f ′ (0) = c1,
f ′′ (0) = 2 · c2, f ′′′ (0) = 3 · 2 · c3,
f (4) (0) = 4 · 3 · 2 · c4, . . .
f (n) (0) = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 · cn
f (n) (0) = n! · cn
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 20
MacLaurin ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Observation
kan skrives
eller
f(x) = c0 + c1x + c2x 2 + c3x 3 + . . .
f(x) = f(0) + f ′ (0)x + f ′′ (0)
2! x2 + f ′′′ (0)
3! x3 + . . .
f(x) =
∞
n=0
f (n) (0)
n! xn
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 22
Koefficienter ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
5 Sætning
Hvis en potensrœkke med centrum i a har konvergensradius
R > 0, så har sumfunktionen
koefficienter
f(x) =
∞
cn(x − a) n
n=0
cn = f (n) (a)
n!
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 24

Taylorrække ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Definition
En vilkårlig ofte differentiabel funktion f(x) har Taylorrække
om a
6 f(x) =
og Maclaurinrække, a = 0,
∞
n=0
7 f(x) =
f (n) (a)
(x − a)
n!
n
∞
n=0
f (n) (0)
n! xn
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 25
Sinusrække som Maclaurin række ☞ [S] 8.7 Taylor . . .
Eksempel 4
For f(x) = sin x er sin ′ x = cos x og cos ′ x = − sin x. Så
Maclaurin rækken er
f(0) = 0, f ′ (0) = 1,
f ′′ (0) = 0, f ′′′ (0) = −1,
f 4 (0) = 0
0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 1, . . .
15 sin x = x − x3 x5 x7
+ − + . . .
3! 5! 7!
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 27
Gauss’ fejlintegral ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Eksempel 8
Substitueres −x 2 for x i eksponentialrækken, fås
eller
(for alle x).
e −x2
= 1 − x 2 + 1
2! x4 − 1
3! x6 + . . .
e −x2
∞
=
n=0
(−1) n
n! x2n
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 29
Gauss’ fejlintegral (fortsat)
Eksempel 8 - fortsat
e −x2
dx = x − x3 x5 x7 x9
+ − + − . . .
3 · 1! 5 · 2! 7 · 3! 9 · 4!
1
0
e −x2
dx = x − x3
1 x5 x7 x9
+ − + − . . .
3 · 1! 5 · 2! 7 · 3! 9 · 4! 0
= 1 − 1 1 1 1
+ − + − . . .
3 · 1! 5 · 2! 7 · 3! 9 · 4!
Sum af de anførte led,
sand værdi 0.746824 . . .
0.747487 . . .
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 31
Eksponentialrækken som Maclaurin række ☞ [S] 8.7 Taylor . . .
Eksempel 1
For f(x) = e x er f (n) (x) = e x for alle n. Så er f (n) (0) = e 0 = 1
for alle n, så Maclaurin rækken for e x er
e x =
∞ 1
n!
n=0
xn
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 26
Cosinusrække som Maclaurin række ☞ [S] 8.7 Taylor . . .
Eksempel 5
For f(x) = cos x,
f(0) = 1, f ′ (0) = 0, f ′′ (0) = −1, f ′′′ (0) = 0, . . .
Maclaurin rækken er
1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, . . .
cos x = 1 − x2 x4
+ − . . .
2! 4!
Denne rækkeudvikling kan også udledes ved at differentiere
sin x = x − x3 x5
+ − . . .
3! 5!
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 28
Gauss’ fejlintegral ☞ [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series
Eksempel 8 - fortsat
For f(x) = e−x2 dx (med f(0) = 0) er en rækkeudvikling med
centrum i 0
e −x2
dx =
∞
e −x2
dx =
n=0
n=0
(−1) n
n! x2n
∞ (−1) n
(2n + 1)n! x2n+1
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 30
Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 4
Angiv en potensrække i x, der for x = 0 fremstiller funktionen
Angiv også grænseværdien
f(x) = cos(x2 ) − 1
x 4
lim
x→0 f(x).
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 32

Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 4 - Løsning
cos x = 1 − x2 x4
+ − . . .
2! 4!
cos(x 2 ) − 1 = (1 − x4 x8 x12
+ − + . . .) − 1
2! 4! 6!
Divideres ledvis med x 4 fås
= − x4 x8 x12
+ − + . . .
2! 4! 6!
− 1 x4 x8
+ − + . . .
2! 4! 6!
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 33
Potensrækkeløsning ☞ [S] 8.10 Using . . . diff. eq.
Eksempel 1
Vi søger en løsning af form
y ′′ + y = 0
y(x) = c0 + c1x + c2x 2 + c3x 3 + . . .
y ′ (x) = c1 + 2 · c2x + 3 · c3x 2 + 4 · c4x 3 + . . .
y ′′ (x) = 2 · c2 + 3 · 2 · c3x + 4 · 3 · c4x 2 + 5 · 4 · c5x 3 + . . .
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 35
Potensrækkeløsning ☞ [S] 8.10 Using . . . diff. eq.
Eksempel 1 - fortsat
c0 og c1 kan vælges frit, derefter bestemmes c2, c3, c4, . . . ved
rekursion. Med f.eks. c0 = 1 og c1 = 0 fås
c2 = − 1
2 ,
c3 = 0,
c4 = − 1
3 · 4 c2 = (− 1
3 · 4 )(−1
2
) = 1
4! .
y(x) = 1 − 1
2 x2 + 1
4! x4 − 1
6! x6 + . . .
- netop cosinus rækken ! y(x) = cos x er en løsning til
y + y ′′ = 0, med y(0) = 1 og y ′ (0) = 0.
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 37
Opgave ☞ Matematik Alfa 1, August 2002
Opgave 4 - Løsning fortsat
Dermed er
Det følger, at
f(x) =
∞
n 1
(−1)
n=1
(2n)! x4(n−1)
= − 1 1
+
2! 4! x4 − 1
6! x8 + 1
8! x12 − . . .
lim f(x) = −1
x→0 2
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 34
Potensrækkeløsning ☞ [S] 8.10 Using . . . diff. eq.
Eksempel 1 - fortsat
y(x)+y ′′ (x) = (c0 +2c2)+(c1 +3·2·c3)x+(c2 +4·3·c4)x 2 +. . .
Fra y + y ′′ = 0 fås at alle koefficienterne må være 0, altså
c0 + 2c2 = 0
c1 + 3 · 2c3 = 0
c2 + 4 · 3c4 = 0
Calculus 2 - 2005 Uge 48.1 - 36