Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
1.4 <strong>Om</strong> komplementærmængde<br />
N˚ar X og Y er mængder, kan vi betragte mængden af de x, der er elementer<br />
i X, men ikke i Y . Denne mængde kalder vi for mængdedifferensen mellem<br />
X og Y eller det relative komplement til Y i X, og vi betegner den med<br />
X \ Y . S˚a<br />
X \ Y = {x ∈ X | x /∈ Y }. (1.4)<br />
Den engelske betegnelse er ”The difference between X and Y ” eller ”The<br />
relative complement of Y in X”.<br />
Bemærk, at det i denne definition ikke er nødvendigt at antage, at Y ⊆<br />
X.<br />
Ofte er det i en given sammenhæng naturligt udelukkende at betragte<br />
mængder, der er delmængder af en vis fast mængde (kaldet grundmængden<br />
eller universalmængden). N˚ar vi f.eks. arbejder med mængder af reelle tal,<br />
er grundmængden . For at skrive de fundamentale egenskaber ved komplementærdannelse<br />
op vil vi dette afsnit (og kun her) antage, at samtlige<br />
mængder, som omtales, er delmængder af en og samme grundmængde U,<br />
og at alle komplementer dannes relativt til U (U for universalmængde). I<br />
s˚adanne situationer er det lettere at underforst˚a grundmængden U end at<br />
skrive den op igen og igen; det har den yderligere fordel, at det simplificerer<br />
notationen og dermed gør formlerne mere overskuelige.<br />
Definition 1.23. N˚ar X er en delmængde af U, best˚ar U \X af de elementer<br />
i U, der ikke ligger i X. Denne mængde kalder vi X’s komplementærmængde,<br />
og vi betegner den med symbolet ∁X. Alts˚a ∁X = U \ X.<br />
De grundlæggende kendsgerninger om komplementærdannelse kan nu<br />
formuleres som følger:<br />
∁(∁X) = X, (1.5)<br />
∁∅ = U, ∁U = ∅, (1.6)<br />
X ∪ ∁X = U, X ∩ ∁X = ∅ (1.7)<br />
X ⊆ Y hvis og kun hvis ∁Y ⊆ ∁X. (1.8)<br />
De vigtigste resultater om komplementærdannelse er<br />
Sætning 1.24 (De Morgans love). Idet X og Y er delmængder af U, har<br />
vi, at<br />
∁(X ∪ Y ) = ∁X ∩ ∁Y og ∁(X ∩ Y ) = ∁X ∪ ∁Y. (1.9)<br />
Andre nyttige formler er indeholdt i den næste proposition.<br />
9