Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

1.4 Om komplementærmængde
N˚ar X og Y er mængder, kan vi betragte mængden af de x, der er elementer
i X, men ikke i Y . Denne mængde kalder vi for mængdedifferensen mellem
X og Y eller det relative komplement til Y i X, og vi betegner den med
X \ Y . S˚a
X \ Y = {x ∈ X | x /∈ Y }. (1.4)
Den engelske betegnelse er ”The difference between X and Y ” eller ”The
relative complement of Y in X”.
Bemærk, at det i denne definition ikke er nødvendigt at antage, at Y ⊆
X.
Ofte er det i en given sammenhæng naturligt udelukkende at betragte
mængder, der er delmængder af en vis fast mængde (kaldet grundmængden
eller universalmængden). N˚ar vi f.eks. arbejder med mængder af reelle tal,
er grundmængden . For at skrive de fundamentale egenskaber ved komplementærdannelse
op vil vi dette afsnit (og kun her) antage, at samtlige
mængder, som omtales, er delmængder af en og samme grundmængde U,
og at alle komplementer dannes relativt til U (U for universalmængde). I
s˚adanne situationer er det lettere at underforst˚a grundmængden U end at
skrive den op igen og igen; det har den yderligere fordel, at det simplificerer
notationen og dermed gør formlerne mere overskuelige.
Definition 1.23. N˚ar X er en delmængde af U, best˚ar U \X af de elementer
i U, der ikke ligger i X. Denne mængde kalder vi X’s komplementærmængde,
og vi betegner den med symbolet ∁X. Alts˚a ∁X = U \ X.
De grundlæggende kendsgerninger om komplementærdannelse kan nu
formuleres som følger:
∁(∁X) = X, (1.5)
∁∅ = U, ∁U = ∅, (1.6)
X ∪ ∁X = U, X ∩ ∁X = ∅ (1.7)
X ⊆ Y hvis og kun hvis ∁Y ⊆ ∁X. (1.8)
De vigtigste resultater om komplementærdannelse er
Sætning 1.24 (De Morgans love). Idet X og Y er delmængder af U, har
vi, at
∁(X ∪ Y ) = ∁X ∩ ∁Y og ∁(X ∩ Y ) = ∁X ∪ ∁Y. (1.9)
Andre nyttige formler er indeholdt i den næste proposition.
9