Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
At følgen x1, x2, . . . , xn, . . . konvergerer mod x0 betyder følgende: Lad<br />
r > 0 være vilk˚arlig. Fra et vist trin N at regne (dvs for n ≥ N) vil alle<br />
xn’erne ligge i cirkelskiven omkring x0 med radius r. Dette skal gælde for<br />
ethvert fastholdt r > 0. Selvfølgelig afhænger N af r: Hvis cirkelskiven<br />
vælges mindre, skal vi normalt g˚a længere ud i følgen, før xn’erne ligger i<br />
cirkelskiven.<br />
(a) Gør rede for, at kvadratet [0, 1] × [0, 1] og enhedsintervallet [0, 1] × {0}<br />
begge er lukkede mængder.<br />
(b) Vis, at den ˚abne enhedscirkel {(x, y) ∈ 2 | x 2 + y 2 < 1} ikke er lukket.<br />
(c) Lad F1 og F2 være lukkede. Vis, at F1 ∩ F2 og F1 ∪ F2 er lukkede.<br />
(d) Lad {Fi | i ∈ I} være en mængde af lukkede mængder. Vis, at <br />
i∈I Fi<br />
er lukket.<br />
(e) Lad F1, F2, . . . være en følge af lukkede mængder. Er foreningsmængden<br />
F1 ∪ F2 ∪ · · · = ∞<br />
n=1 Fn altid lukket?<br />
(f) Gør rede for, at ∅ er lukket.<br />
(g) Gør rede for, at 2 er lukket.<br />
Idet Definition 1.19 ovenfor p˚a lukkede mængder kopieres til , ved at<br />
vi erstatter 2 med , skal man vise, at punkterne (c) - (g) ogs˚a holder for<br />
(i punkt (g) skal der s˚a selvfølgelig st˚a i stedet for 2 ).<br />
Øvelse 1.20. Vis følgende to s˚akaldt distributive love, der knytter kompositionsreglerne<br />
∪ og ∩ sammen:<br />
Øvelse 1.21. Angiv mængderne<br />
(X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z), (1.2)<br />
(X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z) ∩ (Y ∪ Z). (1.3)<br />
∞<br />
{x ∈ | 0 ≤ x < 1<br />
} og<br />
n<br />
n=1<br />
∞<br />
{x ∈ | 0 < x < 1<br />
n }.<br />
Øvelse 1.22. En delmængde K af 2 siges at være konveks, s˚afremt den<br />
har følgende egenskab: For ethvert par af punkter x ∈ K, y ∈ K gælder, at<br />
ethvert punkt p˚a liniestykket [x, y], der forbinder x og y, tilhører K.<br />
Vis, at hvis A og B er to konvekse mængder, s˚a er A ∩ B ligeledes en<br />
konveks mængde.<br />
Vis, at gennemsnittet af en vilk˚arlig mængde af konvekse mængder er<br />
konveks.<br />
8<br />
n=1