Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

At følgen x1, x2, . . . , xn, . . . konvergerer mod x0 betyder følgende: Lad
r > 0 være vilk˚arlig. Fra et vist trin N at regne (dvs for n ≥ N) vil alle
xn’erne ligge i cirkelskiven omkring x0 med radius r. Dette skal gælde for
ethvert fastholdt r > 0. Selvfølgelig afhænger N af r: Hvis cirkelskiven
vælges mindre, skal vi normalt g˚a længere ud i følgen, før xn’erne ligger i
cirkelskiven.
(a) Gør rede for, at kvadratet [0, 1] × [0, 1] og enhedsintervallet [0, 1] × {0}
begge er lukkede mængder.
(b) Vis, at den ˚abne enhedscirkel {(x, y) ∈ 2 | x 2 + y 2 < 1} ikke er lukket.
(c) Lad F1 og F2 være lukkede. Vis, at F1 ∩ F2 og F1 ∪ F2 er lukkede.
(d) Lad {Fi | i ∈ I} være en mængde af lukkede mængder. Vis, at
i∈I Fi
er lukket.
(e) Lad F1, F2, . . . være en følge af lukkede mængder. Er foreningsmængden
F1 ∪ F2 ∪ · · · = ∞
n=1 Fn altid lukket?
(f) Gør rede for, at ∅ er lukket.
(g) Gør rede for, at 2 er lukket.
Idet Definition 1.19 ovenfor p˚a lukkede mængder kopieres til , ved at
vi erstatter 2 med , skal man vise, at punkterne (c) - (g) ogs˚a holder for
(i punkt (g) skal der s˚a selvfølgelig st˚a i stedet for 2 ).
Øvelse 1.20. Vis følgende to s˚akaldt distributive love, der knytter kompositionsreglerne
∪ og ∩ sammen:
Øvelse 1.21. Angiv mængderne
(X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ∪ (Y ∩ Z), (1.2)
(X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z) ∩ (Y ∪ Z). (1.3)
∞
{x ∈ | 0 ≤ x < 1
} og
n
n=1
∞
{x ∈ | 0 < x < 1
n }.
Øvelse 1.22. En delmængde K af 2 siges at være konveks, s˚afremt den
har følgende egenskab: For ethvert par af punkter x ∈ K, y ∈ K gælder, at
ethvert punkt p˚a liniestykket [x, y], der forbinder x og y, tilhører K.
Vis, at hvis A og B er to konvekse mængder, s˚a er A ∩ B ligeledes en
konveks mængde.
Vis, at gennemsnittet af en vilk˚arlig mængde af konvekse mængder er
konveks.
8
n=1