Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn, . . .}, alts˚a hvis C best˚ar af de uendelig mange
mængder X1, X2, . . . , Xn, . . . , eller med andre ord at man har nummereret
mængderne i C, s˚a benytter man som regel notationen
X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn ∩ · · · eller
i stedet for
X∈C X.
Hvis mængderne i C er indiceret af en indeksmængde I, dvs C = {Xi |
i ∈ I}, s˚a skriver man
i∈I
i stedet for
X∈C X. Tilfældene ovenfor svarer til indeksmængderne I =
{1, 2, . . . , n} og I = , henholdsvis.
Lad os betragte det vigtige specialtilfælde, hvor C = {A, B} blot best˚ar
af de to mængder A og B. Her benytter man betegnelsen
A ∩ B i stedet for
X,
s˚a A ∩ B = {x | x er element i b˚ade A og B}. A ∩ B kaldes gennemsnittet
af A og B.
Xi
X∈C
∞
n=1
Xn
Sætning 1.16. Lad A, B og C være mængder. Da gælder
(a) A ∩ ∅ = ∅.
(b) A ∩ B = B ∩ A (kommutativitet).
(c) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativitet).
(d) A ∩ A = A.
(e) A ⊆ B hvis og kun hvis A ∩ B = A.
Bevis. OTL.
Definition 1.17. To mængder X1 og X2 siges at være disjunkte, s˚afremt
X1 ∩ X2 = ∅.
Øvelse 1.18. I denne opgave vil vi betragte en speciel familie af delmængder
af 2 , nemlig de lukkede mængder.
Definition 1.19. En delmængde F af 2 siges at være lukket eller afsluttet,
s˚afremt den har følgende egenskab:
For enhver konvergent følge x1, x2, . . . , xn, . . . → x0, hvor xn ∈ F for ethvert
n ∈ , vil ogs˚a grænsepunktet x0 ∈ F .
7