Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn, . . .}, alts˚a hvis C best˚ar af de uendelig mange<br />
mængder X1, X2, . . . , Xn, . . . , eller med andre ord at man har nummereret<br />
mængderne i C, s˚a benytter man som regel notationen<br />
X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn ∩ · · · eller<br />
i stedet for <br />
X∈C X.<br />
Hvis mængderne i C er indiceret af en indeksmængde I, dvs C = {Xi |<br />
i ∈ I}, s˚a skriver man<br />
<br />
i∈I<br />
i stedet for <br />
X∈C X. Tilfældene ovenfor svarer til indeksmængderne I =<br />
{1, 2, . . . , n} og I = , henholdsvis.<br />
Lad os betragte det vigtige specialtilfælde, hvor C = {A, B} blot best˚ar<br />
af de to mængder A og B. Her benytter man betegnelsen<br />
A ∩ B i stedet for <br />
X,<br />
s˚a A ∩ B = {x | x er element i b˚ade A og B}. A ∩ B kaldes gennemsnittet<br />
af A og B.<br />
Xi<br />
X∈C<br />
∞<br />
n=1<br />
Xn<br />
Sætning 1.16. Lad A, B og C være mængder. Da gælder<br />
(a) A ∩ ∅ = ∅.<br />
(b) A ∩ B = B ∩ A (kommutativitet).<br />
(c) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativitet).<br />
(d) A ∩ A = A.<br />
(e) A ⊆ B hvis og kun hvis A ∩ B = A.<br />
Bevis. OTL.<br />
Definition 1.17. To mængder X1 og X2 siges at være disjunkte, s˚afremt<br />
X1 ∩ X2 = ∅.<br />
Øvelse 1.18. I denne opgave vil vi betragte en speciel familie af delmængder<br />
af 2 , nemlig de lukkede mængder.<br />
Definition 1.19. En delmængde F af 2 siges at være lukket eller afsluttet,<br />
s˚afremt den har følgende egenskab:<br />
For enhver konvergent følge x1, x2, . . . , xn, . . . → x0, hvor xn ∈ F for ethvert<br />
n ∈ , vil ogs˚a grænsepunktet x0 ∈ F .<br />
7