Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

er tomt opfyldt. Vi skal vise, at et eller andet udsagn, der kan være enten sandt eller falsk, om den tomme mængde er sandt. Det gør vi ved at vise, at det ikke kan være falsk. Hvordan kan det eksempelvis være falsk, at ∅ ⊆ X? Det kan kun være falsk, hvis ∅ har et element, der ikke er indeholdt i X; og det har ∅ ikke. ∅ har faktisk slet ingen elementer. Da udsagnet ∅ ⊆ X ikke er falsk, konkluderer vi, at det er korrekt. Det er klart, at der højst kan være én mængde uden elementer: Hvis ∅1 og ∅2 er to s˚adanne mængder, s˚a giver argumentet i beviset for Lemma 1.5, at ∅1 ⊆ ∅2 og ∅2 ⊆ ∅1, dvs ∅1 = ∅2. Diskussionen ovenfor er til for at sikre os eksistensen af en tom mængde, ikke den logisk set ret trivielle éntydighed. Entydigheden gør imidlertid, at vi meningsfyldt kan bruge udtrykket den tomme mængde. Ifølge Lemma 1.5 er den tomme mængde en delmængde af enhver mængde. Definition 1.7. Lad X være en mængde, og lad x0 være et element i X, dvs x0 ∈ X. Vi indfører betegnelsen {x0} = {x ∈ X | x = x0} for den delmængde af X, der som eneste element har x0. Bemærkning 1.8. En mængde best˚aende af netop ét element kaldes for en singleton. Et eksempel p˚a en singleton er delmængden {x0} fra Definition 1.7. ∅ er ikke en singleton, men {∅} er det. Bemærkning 1.9. Man skal omhyggeligt skelne mellem begreberne elementer og delmængder, fordi de ikke betyder det samme. De dertil svarende notationer ∈ og ⊆ kan følgelig ikke bruges i flæng. Gør man det, s˚a kommer man helt sikkert, endda selvforskyldt, i logiske vanskeligheder, og ens resultater vil sandsynligvis være mageløst sludder. Det er nok ret oplagt at opretholde distinktionen mellem det at være et element i en mængde X og det at være en delmængde af X, s˚a længe man betragter delmængder, der indeholder mere end et enkelt element. Men logikken tilsiger os, at vi skal være konsekvente i vores diskussion af delmængder: Vi skal opretholde distinktionen for alle delmængder, ogs˚a for delmængder, der best˚ar af præcis ét element: Et element x0 i en mængde X er ikke en delmængde af X, det bliver faktisk slet ikke betragtet som en mængde i denne sammenhæng. Derfor skriver vi konsekvent x0 ∈ X og {x0} ⊆ X. Det kan tilføjes, at der selvfølgelig er en sammenhæng mellem de to forskellige begreber, nemlig at x0 ∈ X er ækvivalent med {x0} ⊆ X. Begreberne at tilhøre (∈) og at være en delmængde af (⊆) er meget forskellige. Det kan man bl.a. se af, at de har forskellige egenskaber. Det gælder f.eks. altid, at X ⊆ X. Men gælder det nogensinde, at x ∈ x? I hvert fald ikke for elementerne i nogen fornuftigt konstrueret mængde. Som et andet eksempel kan man observere, at inklusionen ⊆ er transitiv, dvs A ⊆ B 4
og B ⊆ C medfører, at A ⊆ C. Det tilsvarende gælder ikke for begrebet at tilhøre (tænk p˚a superorganisationer, hvis medlemmer er organisationer). Lad os se p˚a en samling C = {X1, X2, X3} best˚aende af tre mængder X1, X2 og X3. S˚a X1, X2 og X3 er alts˚a elementerne i C. Eksempelvis kunne Xk for k = 1, 2, 3 være den ˚abne cirkelskive i 2 med centrum (0, 0) og radius k. Godt nok er X1, X2 og X3 mængder, men de er ikke delmængder af C; de er elementer i C. Øvelse 1.10. Beskriv systemet af delmængder af den tomme mængde. Øvelse 1.11. Lad M betegne mængden af alle indskrivelige firkanter i planen, og lad N betegne mængden af alle firkanter i planen, hvor summen af er par modst˚aende vinkler er 180 0 . Vis, at M = N. 1.2 <strong>Om</strong> foreningsmængder Definition 1.12. Hvis C er en samling (dvs mængde) af mængder, s˚a lader vi udtrykket X∈C X betegne en ny mængde, nemlig X = {x | Der findes et X ∈ C, s˚a x ∈ X}, X∈C der kaldes for foreningsmængden af samlingen C (engelsk: The union of the collection C of sets). Jeg gætter p˚a, at foreningsmængsdetegnet stammer fra U’et i Union. Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn}, alts˚a hvis C best˚ar af de endelig mange mængder X1, X2, . . . , Xn, s˚a benytter man som regel notationen X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn eller i stedet for X∈C X. Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn, . . .}, alts˚a hvis C best˚ar af de uendelig mange mængder X1, X2, . . . , Xn, . . . , eller med andre ord at man har nummereret mængderne i C, s˚a benytter man som regel notationen X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn ∪ · · · eller i stedet for X∈C X. Hvis mængderne i C er indiceret af en indeksmængde I, dvs C = {Xi | i ∈ I}, s˚a skriver man i∈I 5 Xi n j=1 Xj ∞ n=1 Xn
Page 1 and 2: Om uendelighedsbegrebet Henrik Stet
Page 3: hvor man p˚a prikkernes plads tæn
Page 7 and 8: Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn, . . .
Page 9 and 10: 1.4 Om komplementærmængde N˚ar X
Page 11 and 12: (d) Vis, at ∁(lim sup An) = lim i
Page 13 and 14: funktioners definitionsomr˚ader er
Page 15 and 16: I Lemma 2.13 angiver vi nogle betin
Page 17 and 18: (b) En nødvendig og tilstrækkelig
Page 19 and 20: 4 Om endelige mængder Først lidt
Page 21 and 22: Sætning 5.5. Enhver delmængde af
Page 23 and 24: 2 −n 10 −6 omkring rn. S˚a vil
Page 25 and 26: Bevis. Hermed et andet bevis: Lad X
Page 27 and 28: Sætning 6.1 (Felix Bernsteins ækv
Page 29 and 30: Bevis. Det er klart, at |X| ≤ |P(
Page 31: (d) Vis, at 2 og har samme kardin

Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?