Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

er tomt opfyldt. Vi skal vise, at et eller andet udsagn, der kan være enten
sandt eller falsk, om den tomme mængde er sandt. Det gør vi ved at vise, at
det ikke kan være falsk. Hvordan kan det eksempelvis være falsk, at ∅ ⊆ X?
Det kan kun være falsk, hvis ∅ har et element, der ikke er indeholdt i X; og
det har ∅ ikke. ∅ har faktisk slet ingen elementer. Da udsagnet ∅ ⊆ X ikke
er falsk, konkluderer vi, at det er korrekt.
Det er klart, at der højst kan være én mængde uden elementer: Hvis ∅1
og ∅2 er to s˚adanne mængder, s˚a giver argumentet i beviset for Lemma 1.5,
at ∅1 ⊆ ∅2 og ∅2 ⊆ ∅1, dvs ∅1 = ∅2. Diskussionen ovenfor er til for at sikre os
eksistensen af en tom mængde, ikke den logisk set ret trivielle éntydighed.
Entydigheden gør imidlertid, at vi meningsfyldt kan bruge udtrykket den
tomme mængde. Ifølge Lemma 1.5 er den tomme mængde en delmængde af
enhver mængde.
Definition 1.7. Lad X være en mængde, og lad x0 være et element i X,
dvs x0 ∈ X. Vi indfører betegnelsen
{x0} = {x ∈ X | x = x0}
for den delmængde af X, der som eneste element har x0.
Bemærkning 1.8. En mængde best˚aende af netop ét element kaldes for en
singleton. Et eksempel p˚a en singleton er delmængden {x0} fra Definition
1.7. ∅ er ikke en singleton, men {∅} er det.
Bemærkning 1.9. Man skal omhyggeligt skelne mellem begreberne elementer
og delmængder, fordi de ikke betyder det samme. De dertil svarende notationer
∈ og ⊆ kan følgelig ikke bruges i flæng. Gør man det, s˚a kommer man
helt sikkert, endda selvforskyldt, i logiske vanskeligheder, og ens resultater
vil sandsynligvis være mageløst sludder. Det er nok ret oplagt at opretholde
distinktionen mellem det at være et element i en mængde X og det at være
en delmængde af X, s˚a længe man betragter delmængder, der indeholder
mere end et enkelt element. Men logikken tilsiger os, at vi skal være konsekvente
i vores diskussion af delmængder: Vi skal opretholde distinktionen
for alle delmængder, ogs˚a for delmængder, der best˚ar af præcis ét element:
Et element x0 i en mængde X er ikke en delmængde af X, det bliver faktisk
slet ikke betragtet som en mængde i denne sammenhæng. Derfor skriver vi
konsekvent x0 ∈ X og {x0} ⊆ X. Det kan tilføjes, at der selvfølgelig er
en sammenhæng mellem de to forskellige begreber, nemlig at x0 ∈ X er
ækvivalent med {x0} ⊆ X.
Begreberne at tilhøre (∈) og at være en delmængde af (⊆) er meget
forskellige. Det kan man bl.a. se af, at de har forskellige egenskaber. Det
gælder f.eks. altid, at X ⊆ X. Men gælder det nogensinde, at x ∈ x? I hvert
fald ikke for elementerne i nogen fornuftigt konstrueret mængde. Som et
andet eksempel kan man observere, at inklusionen ⊆ er transitiv, dvs A ⊆ B
4