Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

N = {a1, a2, . . . , aM}, hvor M ∈ . Vi definerer afbildningen f : U ∪N → U ved forskriften ⎧ ⎪⎨ u for u ∈ U \ D f(u) = un+M for u = un, hvor n = 1, 2, . . . ⎪⎩ for u = ai, i = 1, 2, . . . , M. ui Vi overlader det til læseren at eftervise, at f er en bijektion af U ∪ N p˚a U. Det næste og sidste tilfælde er det, hvor N er numerabel, dvs N har formen N = {a1, a2, . . . , an, . . .}. Her definerer vi en afbildning f : U ∪ N → U ved forskriften ⎧ ⎪⎨ u for u ∈ U \ D f(u) = u2n for u = un, hvor n = 1, 2, . . . ⎪⎩ u2n−1 for u = an, n = 1, 2, . . . . Vi overlader det til læseren at eftervise, at f er en bijektion af U ∪ N p˚a U. Øvelse 6.7. I denne opgave skal vi indse, at 2 og har samme kardinalitet. Det blev bevist af Cantor i 1877, og det forbløffede ham ˚abenbart. I hvert fald skrev han i et brev til kollegaen Dedekind følgende om dette overraskende resultat: ”Je le vois, mais je ne le crois pas.” Vi vil først vise, at enhedskvadratet ]0, 1] 2 og enhedsintervallet ]0, 1] har samme kardinalitet, dvs at der findes en bijektion af ]0, 1] 2 p˚a ]0, 1[. (a) Gør rede for, at ethvert tal i ]0, 1] p˚a netop én m˚ade kan skrives som en uendelig decimalbrøk, som ikke ender med lutter nuller. (b) Lad x ∈ ]0, 1]. Med udgangspunkt i skrivem˚aden fra punkt (a) skriver vi x p˚a formen x = 0, x1x2 . . ., hvor x1, x2, . . . dog ikke altid er decimalerne, men er fastlagt som følger: x1 = de første cifre efter kommaet til og med det første ciffer = 0, x2 = de følgende cifre til og med det næste, der er = 0, osv. Eksempelvis har vi for tallet x = 0, 021800045 . . ., at x1 = 02, x2 = 1, x3 = 8, x4 = 0004 og x5 = 5. Vi definerer nu en afbildning Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] som følger: Idet x ∈ ]0, 1] og y ∈ ]0, 1] skrives som ovenfor, alts˚a x = 0, x1x2 . . . og y = 0, y1y2 . . ., sætter vi Φ(x, y) = 0, x1y1x2y2 . . ., hvor grupperne anføres skiftevis. Vis, at Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] er en bijektion. (c) Hvad g˚ar galt med argumentet, hvis x1, x2, . . . og y1, y2, . . . betegner decimalerne? 30
(d) Vis, at 2 og har samme kardinalitet. Bemærkning 6.8. Hermed et par bemærkninger til Øvelse 6.7. • Det kan bevises, at der ikke findes nogen kontinuert bijektion af ]0, 1] 2 p˚a ]0, 1], s˚a afbildningen Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] ovenfor er alts˚a ikke kontinuert. Det følger af en avanceret sætning, der g˚ar under navnet Brouwer’s Theorem on Invariance of Domain. Se [1, Side B 77] for et elementært bevis for, at Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] ikke kan være kontinuert. • Den italienske matematiker Guiseppe Peano (1858–1932) fandt i 1890 en kontinuert afbildning af [0, 1] ind i [0, 1] 2 (dvs en kurve i [0, 1] 2 ), der er p˚a. Den er ikke 1 − 1. Øvelse 6.9. Vis, at mængden af alle irrationale tal har samme kardinalitet som . Litteratur [1] Bundgaard, S.: ”Nogle Grundlæggende Begrebsdannelser inden for Matematikken, Kapitel I–VI. Definitioner og Sætninger.” Elementærafdelingen nr. 5A. Matematisk Institut. Aarhus Universitet. 1959/60. ”Nogle Grundlæggende Begrebsdannelser inden for Matematikken, Kapitel I–VI. Eksempler og Opgaver.” Elementærafdelingen nr. 5B. Matematisk Institut. Aarhus Universitet. 1959/60. [2] Halmos, Paul R.: ”Naive Set Theory.” Van Nostrand Company, Inc. Princeton, New Jersey. Toronto. London. 1960. [3] Heiede, T. og Helms, H.J., Mængdelære og transfinite kardinaltal I–III. Nordisk Matematisk Tidsskrift 10 (1962), 11–51, 108–136, 169–190. [4] Hrbacek, K. and Jech, T.: ”Introduction to Set Theory.” Marcel Dekker, Inc. New York and Basel. 1978. 31
Page 1 and 2: Om uendelighedsbegrebet Henrik Stet
Page 3 and 4: hvor man p˚a prikkernes plads tæn
Page 5 and 6: og B ⊆ C medfører, at A ⊆ C. D
Page 7 and 8: Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn, . . .
Page 9 and 10: 1.4 Om komplementærmængde N˚ar X
Page 11 and 12: (d) Vis, at ∁(lim sup An) = lim i
Page 13 and 14: funktioners definitionsomr˚ader er
Page 15 and 16: I Lemma 2.13 angiver vi nogle betin
Page 17 and 18: (b) En nødvendig og tilstrækkelig
Page 19 and 20: 4 Om endelige mængder Først lidt
Page 21 and 22: Sætning 5.5. Enhver delmængde af
Page 23 and 24: 2 −n 10 −6 omkring rn. S˚a vil
Page 25 and 26: Bevis. Hermed et andet bevis: Lad X
Page 27 and 28: Sætning 6.1 (Felix Bernsteins ækv
Page 29: Bevis. Det er klart, at |X| ≤ |P(

Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?