Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

N = {a1, a2, . . . , aM}, hvor M ∈ . Vi definerer afbildningen f : U ∪N → U
ved forskriften
⎧
⎪⎨ u for u ∈ U \ D
f(u) = un+M for u = un, hvor n = 1, 2, . . .
⎪⎩
for u = ai, i = 1, 2, . . . , M.
ui
Vi overlader det til læseren at eftervise, at f er en bijektion af U ∪ N p˚a U.
Det næste og sidste tilfælde er det, hvor N er numerabel, dvs N har
formen N = {a1, a2, . . . , an, . . .}. Her definerer vi en afbildning f : U ∪ N →
U ved forskriften
⎧
⎪⎨ u for u ∈ U \ D
f(u) = u2n for u = un, hvor n = 1, 2, . . .
⎪⎩
u2n−1 for u = an, n = 1, 2, . . . .
Vi overlader det til læseren at eftervise, at f er en bijektion af U ∪ N p˚a U.
Øvelse 6.7. I denne opgave skal vi indse, at 2 og har samme kardinalitet.
Det blev bevist af Cantor i 1877, og det forbløffede ham ˚abenbart.
I hvert fald skrev han i et brev til kollegaen Dedekind følgende om dette
overraskende resultat: ”Je le vois, mais je ne le crois pas.”
Vi vil først vise, at enhedskvadratet ]0, 1] 2 og enhedsintervallet ]0, 1] har
samme kardinalitet, dvs at der findes en bijektion af ]0, 1] 2 p˚a ]0, 1[.
(a) Gør rede for, at ethvert tal i ]0, 1] p˚a netop én m˚ade kan skrives som en
uendelig decimalbrøk, som ikke ender med lutter nuller.
(b) Lad x ∈ ]0, 1]. Med udgangspunkt i skrivem˚aden fra punkt (a) skriver vi
x p˚a formen x = 0, x1x2 . . ., hvor x1, x2, . . . dog ikke altid er decimalerne,
men er fastlagt som følger:
x1 = de første cifre efter kommaet til og med det første ciffer = 0,
x2 = de følgende cifre til og med det næste, der er = 0,
osv.
Eksempelvis har vi for tallet x = 0, 021800045 . . ., at x1 = 02, x2 = 1,
x3 = 8, x4 = 0004 og x5 = 5.
Vi definerer nu en afbildning Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] som følger: Idet x ∈ ]0, 1]
og y ∈ ]0, 1] skrives som ovenfor, alts˚a x = 0, x1x2 . . . og y = 0, y1y2 . . .,
sætter vi Φ(x, y) = 0, x1y1x2y2 . . ., hvor grupperne anføres skiftevis.
Vis, at Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] er en bijektion.
(c) Hvad g˚ar galt med argumentet, hvis x1, x2, . . . og y1, y2, . . . betegner
decimalerne?
30