Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
N = {a1, a2, . . . , aM}, hvor M ∈ . Vi definerer afbildningen f : U ∪N → U<br />
ved forskriften<br />
⎧<br />
⎪⎨ u for u ∈ U \ D<br />
f(u) = un+M for u = un, hvor n = 1, 2, . . .<br />
⎪⎩<br />
for u = ai, i = 1, 2, . . . , M.<br />
ui<br />
Vi overlader det til læseren at eftervise, at f er en bijektion af U ∪ N p˚a U.<br />
Det næste og sidste tilfælde er det, hvor N er numerabel, dvs N har<br />
formen N = {a1, a2, . . . , an, . . .}. Her definerer vi en afbildning f : U ∪ N →<br />
U ved forskriften<br />
⎧<br />
⎪⎨ u for u ∈ U \ D<br />
f(u) = u2n for u = un, hvor n = 1, 2, . . .<br />
⎪⎩<br />
u2n−1 for u = an, n = 1, 2, . . . .<br />
Vi overlader det til læseren at eftervise, at f er en bijektion af U ∪ N p˚a U.<br />
Øvelse 6.7. I denne opgave skal vi indse, at 2 og har samme kardinalitet.<br />
Det blev bevist af Cantor i 1877, og det forbløffede ham ˚abenbart.<br />
I hvert fald skrev han i et brev til kollegaen Dedekind følgende om dette<br />
overraskende resultat: ”Je le vois, mais je ne le crois pas.”<br />
Vi vil først vise, at enhedskvadratet ]0, 1] 2 og enhedsintervallet ]0, 1] har<br />
samme kardinalitet, dvs at der findes en bijektion af ]0, 1] 2 p˚a ]0, 1[.<br />
(a) Gør rede for, at ethvert tal i ]0, 1] p˚a netop én m˚ade kan skrives som en<br />
uendelig decimalbrøk, som ikke ender med lutter nuller.<br />
(b) Lad x ∈ ]0, 1]. Med udgangspunkt i skrivem˚aden fra punkt (a) skriver vi<br />
x p˚a formen x = 0, x1x2 . . ., hvor x1, x2, . . . dog ikke altid er decimalerne,<br />
men er fastlagt som følger:<br />
x1 = de første cifre efter kommaet til og med det første ciffer = 0,<br />
x2 = de følgende cifre til og med det næste, der er = 0,<br />
osv.<br />
Eksempelvis har vi for tallet x = 0, 021800045 . . ., at x1 = 02, x2 = 1,<br />
x3 = 8, x4 = 0004 og x5 = 5.<br />
Vi definerer nu en afbildning Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] som følger: Idet x ∈ ]0, 1]<br />
og y ∈ ]0, 1] skrives som ovenfor, alts˚a x = 0, x1x2 . . . og y = 0, y1y2 . . .,<br />
sætter vi Φ(x, y) = 0, x1y1x2y2 . . ., hvor grupperne anføres skiftevis.<br />
Vis, at Φ : ]0, 1] 2 → ]0, 1] er en bijektion.<br />
(c) Hvad g˚ar galt med argumentet, hvis x1, x2, . . . og y1, y2, . . . betegner<br />
decimalerne?<br />
30