Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

i den. For at undg˚a en alt for monotont stammende terminologi (en mængde af mængder af ...) vil vi dog undertiden erstatte ordet ”mængde” med ord som ”samling”, ”familie”, ”system” eller lignende. Med ordene ”vel afgrænset” menes, at det nøje skal være fastlagt, hvilke elementer der tilhører mængden. N˚ar vi beskriver en mængde, dvs angiver dens elementer, skal det alts˚a af beskrivelsen helt klart fremg˚a, hvilke elementer der er indeholdt i mængden, og hvilke der ikke er det. Eksempler p˚a mængder er en flok duer, samlingen af stater i USA, mængden af alle primtal. Det er vigtigt at erkende, at en mængde kan være et element i en anden mængde, for det fænomen vil optræde gang p˚a gang under jeres matematikstudier. F.eks. er en linje en mængde af punkter; og mængden af alle linjer i planen er s˚aledes en mængde, hvis elementer selv er mængder. Begrebet mængde er en s˚a primitiv begrebsdannelse, at vi ikke vil søge at definere det ud fra andre begreber, men nøjes med den ovenfor givne beskrivelse, hvor vi benyttede udtryk som ”samling”, ”objekt”, ”afgrænset”, for at fremkalde den rigtige forestilling hos læseren. Lad nu X betegne en mængde. At x betegner et element, der tilhører X, skriver vi som følger: x ∈ X. Dette læses alts˚a som ”x tilhører X” eller ”x er indeholdt i X”. At x betegner et element, der ikke tilhører X, skriver vi som følger: x /∈ X. Terminologien p˚a engelsk er ”x is an element of X”, ”x is contained in X” eller ”x belongs to X”. Bemærkning 1.1. Det er en version af det græske bogstav epsilon, der indg˚ar i udtrykket ”x ∈ X”. Den benyttes s˚a ofte til at betegne ”indeholdt i”, at de fleste matematikere kun benytter den i denne mængdeteoretiske sammenhæng. De benytter ɛ eller ε, n˚ar de i andre sammenhænge har brug for det femte bogstav i det græske alfabet. Er X og Y mængder, s˚a betegner X = Y , at X og Y best˚ar af de samme elementer, alts˚a at x ∈ X ⇔ x ∈ Y . Bemærkning 1.2. Vi benytter en pil ⇒ i betydningen ”medfører”, og en dobbeltpil ⇔ i betydningen ”medfører og medføres af”. En mængde X angives undertiden p˚a følgende m˚ade: X = {. . .}, hvor man p˚a prikkernes plads tænker sig samtlige mængdens elementer anbragt. Hvis mængden f.eks. best˚ar af tallene 1, 3, 5, 7 og 9, betegner vi den med symbolet {1, 3, 5, 7, 9}. Da en mængde er karakteriseret alene ved de elementer, den indeholder, betegner symbolerne {1, 3, 5, 7, 9} og {9, 5, 3, 7, 1} den samme mængde. Dvs {1, 3, 5, 7, 9} = {9, 5, 3, 7, 1}, idet et lighedstegn mellem betegnelserne for to mængder tilkendegiver, at de to mængder best˚ar af de samme elementer. Man anvender ogs˚a en skrivem˚ade af følgende art: X = {x | . . .}, (1.1) 2
hvor man p˚a prikkernes plads tænker sig angivet en egenskab, som x har, hvis og kun hvis x betegner et element, der tilhører X. Det er klart, at der for enhver mængde X gælder, at X = {x | x ∈ X}. Vi vil ogs˚a møde udtryk som {x ∈ X | S(x)}, hvor S(x) er en betingelse, som elementerne i X kan opfylde eller ikke opfylde. Som et eksempel p˚a anvendelsen af betegnelsesm˚aden (1.1) anfører vi, at {x | x helt tal, og x > 0} er mængden af alle naturlige tal. Definition 1.3. Lad X og X ′ betegne mængder. Vi siger, at X ′ er en delmængde af X og skriver X ′ ⊆ X eller X ⊇ X ′ , s˚afremt x ∈ X ′ ⇒ x ∈ X. ⊇. Nogle forfattere benytter notationen ⊂ i stedet for ⊆, og ⊃ i stedet for Undertiden er det bekvemt at skrive X ⊇ X ′ i stedet for X ′ ⊆ X. De to udtryk betyder det samme. Den engelske terminologi er ”X includes X ′ ” eller ”X ′ is a subset of X”. Det er klart, at det ifølge Definition 1.3 gælder om enhver mængde X, at X ⊆ X. Det er ligeledes klart, at og at X = Y ⇔ [X ⊆ Y og Y ⊆ X], X ⊆ Y, Y ⊆ Z ⇒ X ⊆ Z. I mængdelæren har man taget højde for udtryk som X \ X (vi definerer mængdedifferens senere) ved at indføre den tomme mængde. Formelt benytter man et af mængdelærens principper, nemlig specifikationsaksiomet (Engelsk: Axiom of specification; tysk: Aussonderungsaxiom). Definition 1.4 (Specifikationsaksiomet). Til enhver mængde X og enhver betingelse S(·) er B = {x ∈ X | S(x) er sand} en mængde. Mængdelæren g˚ar ud fra, at der findes en mængde (!). Betegnes en s˚adan med A0, s˚a er den tomme mængde defineret ved ∅ = {x ∈ A0 | x = x}. Ifølge Specifikationsaksiomet er ∅ en mængde. Den tomme mængde indeholder ˚abenbart ikke nogen elementer. Lemma 1.5. Lad X være en mængde. Da er den tomme mængde en delmængde af X, dvs ∅ ⊆ X. Bevis. Vi skal vise, at ethvert element i venstre side, alts˚a i ∅, tilhører X. Men det er jo trivielt opfyldt for ethvert element fra venstre side, da der ingen er. Bemærkning 1.6. Selv om ræsonnementet i beviset for Lemma 1.5 er logisk korrekt, kan det m˚aske forekomme lidt utilfredstillende. Beviset giver et typisk eksempel p˚a et fænomen, der hyppigt optræder, nemlig at en betingelse 3
Page 1: Om uendelighedsbegrebet Henrik Stet
Page 5 and 6: og B ⊆ C medfører, at A ⊆ C. D
Page 7 and 8: Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn, . . .
Page 9 and 10: 1.4 Om komplementærmængde N˚ar X
Page 11 and 12: (d) Vis, at ∁(lim sup An) = lim i
Page 13 and 14: funktioners definitionsomr˚ader er
Page 15 and 16: I Lemma 2.13 angiver vi nogle betin
Page 17 and 18: (b) En nødvendig og tilstrækkelig
Page 19 and 20: 4 Om endelige mængder Først lidt
Page 21 and 22: Sætning 5.5. Enhver delmængde af
Page 23 and 24: 2 −n 10 −6 omkring rn. S˚a vil
Page 25 and 26: Bevis. Hermed et andet bevis: Lad X
Page 27 and 28: Sætning 6.1 (Felix Bernsteins ækv
Page 29 and 30: Bevis. Det er klart, at |X| ≤ |P(
Page 31: (d) Vis, at 2 og har samme kardin

Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?