Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Bevis. Det er klart, at |X| ≤ |P(X)|: Afbildningen x ↦→ {x} af X ind i P(X)
er nemlig 1 − 1.
At |X| = |P(X)| giver vi et indirekte bevis for. Vi antager, at der gælder
lighedstegn, og fører denne antagelse til en modstrid. At der gælder
lighedstegn, betyder, at der findes en bijektion f af X p˚a P(X). Betragt
nu delmængden A = {x ∈ X | x /∈ f(x)}. Da f er surjektiv, findes der et
a ∈ X, s˚a f(a) = A. Der er nu to muligheder
(i) a ∈ A. I dette tilfælde har vi pr definition af A, at a /∈ f(a); og da
f(a) = A, at a /∈ A. Men det strider mod tilfældets overskrift, der er
a ∈ A. Dermed optræder dette tilfælde alts˚a ikke, og vi har
(ii) a /∈ A tilbage. Da f(a) = A, har vi i dette tilfælde, at a /∈ f(a). Pr
definition af A har vi dermed, at a ∈ A. Men det strider mod tilfældets
overskrift, der er a /∈ A.
Vi f˚ar alts˚a en modstrid.
Cantors sætning har som konsekvens, at der ikke er nogen største mængde
i den forstand, at alle andre kan indlejres i den via en injektion. Hvis X
er en s˚adan største mængde, s˚a er P(X) jo endnu større.
Den næste sætning (Sætning 6.5) giver os, at har mindst kardinalitet
blandt alle uendelige mængder i den forstand, at || ≤ |X| for enhver
uendelig mængde X.
Sætning 6.5. Enhver uendelig mængde indeholder en numerabel delmængde.
Bevis. Kald den uendelige mængde X. Lad x1 være et vilk˚arligt valgt element
i X. Restmængden X1 = X \{x1} er ikke tom; lad x2 være et vilk˚arligt
valgt element i X1. Restmængden X2 = X1 \ {x2} er ikke tom; lad x3 være
et vilk˚arligt valgt element i X2. Restmængden X3 = X2 \ {x3} er ikke tom;
lad x4 være et vilk˚arligt valgt element i X3. Osv.
Da X er uendelig, er restmængden Xn = X \ {x1, x2, . . . , xn} ikke tom
for noget n, s˚a udvælgelsesprocessen kan fortsættes ubegrænset. Mængden
{x1, x2, . . .} er en numerabel delmængde af X.
Sætning 6.6. Hvis N er en tællelig mængde og U en uendelig mængde, s˚a
har U og U ∪ N samme kardinalitet.
Bevis. Ifølge Sætning 6.5 har U en numerabel delmængde. Vi lader D =
{u1, u2, . . . , un, . . .} betegne en s˚adan.
Da U ∪ N = U ∪ (N \ U), kan vi i kraft af Sætning 5.5 antage, at U og
N er disjunkte.
Lad os først antage, at N er endelig. Hvis N er tom, s˚a er resultatet
trivielt, s˚a lad os antage, at N ikke er tom og dermed kan skrives p˚a formen
29