Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Bevis. Det er klart, at |X| ≤ |P(X)|: Afbildningen x ↦→ {x} af X ind i P(X)<br />
er nemlig 1 − 1.<br />
At |X| = |P(X)| giver vi et indirekte bevis for. Vi antager, at der gælder<br />
lighedstegn, og fører denne antagelse til en modstrid. At der gælder<br />
lighedstegn, betyder, at der findes en bijektion f af X p˚a P(X). Betragt<br />
nu delmængden A = {x ∈ X | x /∈ f(x)}. Da f er surjektiv, findes der et<br />
a ∈ X, s˚a f(a) = A. Der er nu to muligheder<br />
(i) a ∈ A. I dette tilfælde har vi pr definition af A, at a /∈ f(a); og da<br />
f(a) = A, at a /∈ A. Men det strider mod tilfældets overskrift, der er<br />
a ∈ A. Dermed optræder dette tilfælde alts˚a ikke, og vi har<br />
(ii) a /∈ A tilbage. Da f(a) = A, har vi i dette tilfælde, at a /∈ f(a). Pr<br />
definition af A har vi dermed, at a ∈ A. Men det strider mod tilfældets<br />
overskrift, der er a /∈ A.<br />
Vi f˚ar alts˚a en modstrid.<br />
Cantors sætning har som konsekvens, at der ikke er nogen største mængde<br />
i den forstand, at alle andre kan indlejres i den via en injektion. Hvis X<br />
er en s˚adan største mængde, s˚a er P(X) jo endnu større.<br />
Den næste sætning (Sætning 6.5) giver os, at har mindst kardinalitet<br />
blandt alle uendelige mængder i den forstand, at || ≤ |X| for enhver<br />
uendelig mængde X.<br />
Sætning 6.5. Enhver uendelig mængde indeholder en numerabel delmængde.<br />
Bevis. Kald den uendelige mængde X. Lad x1 være et vilk˚arligt valgt element<br />
i X. Restmængden X1 = X \{x1} er ikke tom; lad x2 være et vilk˚arligt<br />
valgt element i X1. Restmængden X2 = X1 \ {x2} er ikke tom; lad x3 være<br />
et vilk˚arligt valgt element i X2. Restmængden X3 = X2 \ {x3} er ikke tom;<br />
lad x4 være et vilk˚arligt valgt element i X3. Osv.<br />
Da X er uendelig, er restmængden Xn = X \ {x1, x2, . . . , xn} ikke tom<br />
for noget n, s˚a udvælgelsesprocessen kan fortsættes ubegrænset. Mængden<br />
{x1, x2, . . .} er en numerabel delmængde af X.<br />
Sætning 6.6. Hvis N er en tællelig mængde og U en uendelig mængde, s˚a<br />
har U og U ∪ N samme kardinalitet.<br />
Bevis. Ifølge Sætning 6.5 har U en numerabel delmængde. Vi lader D =<br />
{u1, u2, . . . , un, . . .} betegne en s˚adan.<br />
Da U ∪ N = U ∪ (N \ U), kan vi i kraft af Sætning 5.5 antage, at U og<br />
N er disjunkte.<br />
Lad os først antage, at N er endelig. Hvis N er tom, s˚a er resultatet<br />
trivielt, s˚a lad os antage, at N ikke er tom og dermed kan skrives p˚a formen<br />
29