Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Ad (iii): Den sidste del af (iii) følger af den første ved komplementærmængdedannelse
(cf. Sætning 2.11(a)), s˚a vi kan koncentrere os om den første
del.
⊆) Lad f(a), hvor a ∈ A, være et vilk˚arligt element i venstre side f(A).
Vi skal vise, at f(a) ∈ g −1 (A), dvs at g(f(a)) ∈ A. Men g(f(a)) = (g◦f)(a) ∈
(g ◦ f)(A), s˚a det er klart fra (ii).
⊇) Lad omvendt y ∈ g −1 (A) være et vilk˚arligt element i venstre side.
At y ∈ g −1 (A) betyder, at g(y) ∈ A. Af (ii) ser vi, at g(y) ∈ (g ◦ f)(A),
idet g(y) ikke ligger i nr. 2 led p˚a højre side af (ii). Der findes s˚a et a ∈ A,
s˚a g(y) = (g ◦ f)(a) = g(f(a)). Da g er injektiv, er y = f(a). Dermed er
y ∈ f(A), og (iii) er eftervist.
Vi betragter herefter afbildningen h : X → Y givet ved
h(x) =
f(x) for x ∈ A
g −1 (x) for x ∈ ∁A.
(6.3)
Det bør bemærkes, at ∁A ⊆ g(Y ), s˚a den nederste linje i udtrykket for h
er meningsfyldt. Det blev imidlertid allerede bemærket i punkt (i) ovenfor.
Vi hævder, at h er en bijektion af X p˚a Y , dvs h er b˚ade injektiv og
surjektiv.
Da s˚avel f som g −1 er injektive, kan injektiviteten af h kun g˚a galt, hvis
der findes a ∈ A og b ∈ ∁A, s˚a f(a) = g −1 (b). Men det kan ikke lade sig gøre,
for f(a) ∈ f(A) og g −1 (b) ∈ ∁f(A) (det sidste ifølge den anden p˚astand i
(iii)).
Hvad surjektiviteten ang˚ar, s˚a ser vi umiddelbart fra de to tilfælde i
definitionen (6.3) af h, at h(X) ⊇ f(A) og h(X) ⊇ g −1 (∁A), s˚a
h(X) ⊇ f(A) ∪ g −1 (∁A).
N˚ar vi heri indsætter, at g −1 (∁A) = ∁f(A) (punkt (iii) ovenfor), f˚ar vi, at
h(X) ⊇ f(A) ∪ ∁f(A) = Y , dvs h er surjektiv.
Korollar 6.3. Lad X, Y og Z være tre mængder, som opfylder, at X ⊆
Y ⊆ Z og at |X| = |Z|. Da er |X| = |Y | og |Y | = |Z|.
Bevis. Idet inklusionsafbildningen X → Y er injektiv, er |X| ≤ |Y |. Da
|X| = |Z|, findes der en bijektion φ : Z → X af Z p˚a X. Lad i : Y → Z
betegne inklusionsafbildningen. Sammensætningen φ ◦ i : Y → X er en
injektiv afbildning (en sammensætning af to injektive afbildninger), s˚a |Y | ≤
|X|. Korollaret følger nu af Bernsteins ækvivalenssætning.
Sætning 6.4 (Cantors sætning). Lad X være en mængde. Da er |X| <
|P(X)|.
28