Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Ad (iii): Den sidste del af (iii) følger af den første ved komplementærmængdedannelse<br />
(cf. Sætning 2.11(a)), s˚a vi kan koncentrere os om den første<br />
del.<br />
⊆) Lad f(a), hvor a ∈ A, være et vilk˚arligt element i venstre side f(A).<br />
Vi skal vise, at f(a) ∈ g −1 (A), dvs at g(f(a)) ∈ A. Men g(f(a)) = (g◦f)(a) ∈<br />
(g ◦ f)(A), s˚a det er klart fra (ii).<br />
⊇) Lad omvendt y ∈ g −1 (A) være et vilk˚arligt element i venstre side.<br />
At y ∈ g −1 (A) betyder, at g(y) ∈ A. Af (ii) ser vi, at g(y) ∈ (g ◦ f)(A),<br />
idet g(y) ikke ligger i nr. 2 led p˚a højre side af (ii). Der findes s˚a et a ∈ A,<br />
s˚a g(y) = (g ◦ f)(a) = g(f(a)). Da g er injektiv, er y = f(a). Dermed er<br />
y ∈ f(A), og (iii) er eftervist.<br />
Vi betragter herefter afbildningen h : X → Y givet ved<br />
h(x) =<br />
<br />
f(x) for x ∈ A<br />
g −1 (x) for x ∈ ∁A.<br />
(6.3)<br />
Det bør bemærkes, at ∁A ⊆ g(Y ), s˚a den nederste linje i udtrykket for h<br />
er meningsfyldt. Det blev imidlertid allerede bemærket i punkt (i) ovenfor.<br />
Vi hævder, at h er en bijektion af X p˚a Y , dvs h er b˚ade injektiv og<br />
surjektiv.<br />
Da s˚avel f som g −1 er injektive, kan injektiviteten af h kun g˚a galt, hvis<br />
der findes a ∈ A og b ∈ ∁A, s˚a f(a) = g −1 (b). Men det kan ikke lade sig gøre,<br />
for f(a) ∈ f(A) og g −1 (b) ∈ ∁f(A) (det sidste ifølge den anden p˚astand i<br />
(iii)).<br />
Hvad surjektiviteten ang˚ar, s˚a ser vi umiddelbart fra de to tilfælde i<br />
definitionen (6.3) af h, at h(X) ⊇ f(A) og h(X) ⊇ g −1 (∁A), s˚a<br />
h(X) ⊇ f(A) ∪ g −1 (∁A).<br />
N˚ar vi heri indsætter, at g −1 (∁A) = ∁f(A) (punkt (iii) ovenfor), f˚ar vi, at<br />
h(X) ⊇ f(A) ∪ ∁f(A) = Y , dvs h er surjektiv.<br />
Korollar 6.3. Lad X, Y og Z være tre mængder, som opfylder, at X ⊆<br />
Y ⊆ Z og at |X| = |Z|. Da er |X| = |Y | og |Y | = |Z|.<br />
Bevis. Idet inklusionsafbildningen X → Y er injektiv, er |X| ≤ |Y |. Da<br />
|X| = |Z|, findes der en bijektion φ : Z → X af Z p˚a X. Lad i : Y → Z<br />
betegne inklusionsafbildningen. Sammensætningen φ ◦ i : Y → X er en<br />
injektiv afbildning (en sammensætning af to injektive afbildninger), s˚a |Y | ≤<br />
|X|. Korollaret følger nu af Bernsteins ækvivalenssætning.<br />
Sætning 6.4 (Cantors sætning). Lad X være en mængde. Da er |X| <<br />
|P(X)|.<br />
28