Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Sætning 6.1 (Felix Bernsteins ækvivalenssætning, 1897). Lad X og Y være
to mængder. Hvis |X| ≤ |Y | og |Y | ≤ |X|, s˚a er |X| = |Y |, dvs X og Y har
samme kardinalitet.
Bemærkning 6.2. Ækvivalenssætningen kaldes ogs˚a Cantor-Bernsteins ækvivalenssætning,
fordi Cantor var den første til at formulere den, og Felix
Bernstein (1878-1956) den første til at bevise den. Den kaldes ogs˚a undertiden
Bernstein-Schröders ækvivalenssætning, fordi logikeren Ernst Schröder
(1841-1902) mente at have bevist den.
Lidt standard notation, før vi g˚ar i gang med beviset for Bernsteins
ækvivalenssætning:
Hvis X er en mængde og φ : X → X er en afbildning af mængden ind i
sig selv, s˚a sætter vi
φ 0 = iX, φ 1 = φ og induktivt φ n = φ ◦ φ n−1 for n = 2, 3 . . . . (6.1)
Bevis for Bernsteins ækvivalenssætning. At |X| ≤ |Y | betyder, at der findes
en injektiv afbildning f : X → Y . Der er ikke givet noget om, at den skulle
være surjektiv; det behøver den faktisk ikke at være. Tilsvarende findes der
en injektiv afbildning g : Y → X, da |Y | ≤ |X|.
Nedenfor regnes komplementærmængder i forhold til X og Y henholdsvis.
Vi f˚ar brug for en vis delmængde A af X, nemlig
A =
∞
(g ◦ f) n (X \ g(Y ))
n=0
= (X \ g(Y )) ∪ (g ◦ f)(X \ g(Y )) ∪ (g ◦ f) 2 (X \ g(Y )) ∪ · · · . (6.2)
Vi noterer tre egenskaber ved A:
(i) ∁A ⊆ g(Y ).
(ii) A = (g ◦ f)(A) ∪ (X \ g(Y )).
(iii) f(A) = g −1 (A) og ∁f(A) = g −1 (∁A). Bemærk, at højre side g −1 (∁A)
er billedet af ∁A ved afbildningen g −1 : g(Y ) → Y (Lemma 3.5).
Ad (i): Af (6.2) fremg˚ar det, at A ⊇ X \ g(Y ). Heraf følger (i), f.eks. ved at
man tager komplementærmængder med hensyn til X.
Ad (ii): Af definitionen (6.2) p˚a A f˚ar vi, at
(g ◦ f)(A) = (g ◦ f)(X \ g(Y )) ∪ (g ◦ f) 2 (X \ g(Y )) ∪ · · · ,
hvilket er A p˚anær det første led p˚a højresiden af (6.2). Tilføjes X \ g(Y )
p˚a begge sider, f˚as (ii).
27