Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Heraf følger, at der er flere end tælleligt mange tal, der ikke er algebraiske.
S˚adanne tal kaldes transcendente tal. Som eksempler p˚a transcendente
tal kan nævnes π, grundtallet e for den naturlige logaritme og 2 √ 2 . Beviser
for, at π og e er transcendentale, blev først givet af henholdsvis Hermite
(1873) og Lindemann (1882); senere har man fundet simplere beviser. At
2 √ 2 er transcendent, blev vist i 1934 af Gelfond. I 1966 viste A. Baker følgende:
Lad a være et algebraisk tal med a = 0 og a = 1, og lad b være et
irrationalt algebraisk tal. S˚a er a b et transcendent tal.
Øvelse 5.16. Lad X være endelig og lad Y være numerabel. Vis, at X ∪ Y
er numerabel.
Øvelse 5.17. Lad X og Y være tællelige mængder. Vis, at X × Y ogs˚a er
tællelig.
Øvelse 5.18. Vis, at mængden {(q1, q2) ∈ 2 | q1, q2 ∈ } er numerabel.
Øvelse 5.19. Lad X betegne en mængde af parvis disjunkte intervaller i
. Vis, at X er tællelig, dvs X blot indeholder tælleligt mange intervaller,
ikke overtælleligt mange.
Øvelse 5.20. Lad f : [0, 1] → være en voksende funktion, dvs s ≤ t
medfører f(s) ≤ f(t). Vis, at mængden af f’s diskontinuitetspunkter er
tællelig.
6 Generelle resultater om mængder
Vi har i foreg˚aende afsnit udledt en række resultater om tællelige mængder.
Endvidere har vi i Eksempel 5.9 set, at de reelle tal er en overtællelig
mængde, s˚a ikke bare eksisterer overtællelige mængder, men nogle af dem er
vigtige. Det spørgsm˚al melder sig nu, om vi i al almindelighed kan sige noget
fornuftigt om mængder, der ikke nødvendigvis er tællelige. Er de m˚aske
for store, komplicerede og forskelligartede til, at vi udlede nogen generelle
resultater om dem? Vi skal i indeværende afsnit se, at vi faktisk kan sige
noget fornuftigt og interessant om mængder i al almindelighed, ogs˚a selv om
vi ikke indskrænker os til de tællelige mængder.
Lad os for to mængder X og Y skrive |X| ≤ |Y |, s˚afremt der findes
en injektiv afbildning af X ind i Y . I givet fald siger vi, at X har mindre
kardinalitet end Y . Det er en udvidelse af, hvad vi har skrevet for endelige
mængder. Hvis X og Y har samme kardinalitet, skriver vi |X| = |Y |. Vi
skriver |X| < |Y |, s˚afremt der b˚ade gælder, at |X| ≤ |Y | og at |X| = |Y |.
Det er klart, at |X| ≤ |X|. Det er ogs˚a oplagt, at hvis |X| ≤ |Y | og |Y | ≤ |Z|,
s˚a er |X| ≤ |Z|, idet en sammensætning af to injektioner selv er en injektion.
Hvad der bestemt ikke er helt klart, er følgende sætning.
26