Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Heraf følger, at der er flere end tælleligt mange tal, der ikke er algebraiske.<br />
S˚adanne tal kaldes transcendente tal. Som eksempler p˚a transcendente<br />
tal kan nævnes π, grundtallet e for den naturlige logaritme og 2 √ 2 . Beviser<br />
for, at π og e er transcendentale, blev først givet af henholdsvis Hermite<br />
(1873) og Lindemann (1882); senere har man fundet simplere beviser. At<br />
2 √ 2 er transcendent, blev vist i 1934 af Gelfond. I 1966 viste A. Baker følgende:<br />
Lad a være et algebraisk tal med a = 0 og a = 1, og lad b være et<br />
irrationalt algebraisk tal. S˚a er a b et transcendent tal.<br />
Øvelse 5.16. Lad X være endelig og lad Y være numerabel. Vis, at X ∪ Y<br />
er numerabel.<br />
Øvelse 5.17. Lad X og Y være tællelige mængder. Vis, at X × Y ogs˚a er<br />
tællelig.<br />
Øvelse 5.18. Vis, at mængden {(q1, q2) ∈ 2 | q1, q2 ∈ } er numerabel.<br />
Øvelse 5.19. Lad X betegne en mængde af parvis disjunkte intervaller i<br />
. Vis, at X er tællelig, dvs X blot indeholder tælleligt mange intervaller,<br />
ikke overtælleligt mange.<br />
Øvelse 5.20. Lad f : [0, 1] → være en voksende funktion, dvs s ≤ t<br />
medfører f(s) ≤ f(t). Vis, at mængden af f’s diskontinuitetspunkter er<br />
tællelig.<br />
6 Generelle resultater om mængder<br />
Vi har i foreg˚aende afsnit udledt en række resultater om tællelige mængder.<br />
Endvidere har vi i Eksempel 5.9 set, at de reelle tal er en overtællelig<br />
mængde, s˚a ikke bare eksisterer overtællelige mængder, men nogle af dem er<br />
vigtige. Det spørgsm˚al melder sig nu, om vi i al almindelighed kan sige noget<br />
fornuftigt om mængder, der ikke nødvendigvis er tællelige. Er de m˚aske<br />
for store, komplicerede og forskelligartede til, at vi udlede nogen generelle<br />
resultater om dem? Vi skal i indeværende afsnit se, at vi faktisk kan sige<br />
noget fornuftigt og interessant om mængder i al almindelighed, ogs˚a selv om<br />
vi ikke indskrænker os til de tællelige mængder.<br />
Lad os for to mængder X og Y skrive |X| ≤ |Y |, s˚afremt der findes<br />
en injektiv afbildning af X ind i Y . I givet fald siger vi, at X har mindre<br />
kardinalitet end Y . Det er en udvidelse af, hvad vi har skrevet for endelige<br />
mængder. Hvis X og Y har samme kardinalitet, skriver vi |X| = |Y |. Vi<br />
skriver |X| < |Y |, s˚afremt der b˚ade gælder, at |X| ≤ |Y | og at |X| = |Y |.<br />
Det er klart, at |X| ≤ |X|. Det er ogs˚a oplagt, at hvis |X| ≤ |Y | og |Y | ≤ |Z|,<br />
s˚a er |X| ≤ |Z|, idet en sammensætning af to injektioner selv er en injektion.<br />
Hvad der bestemt ikke er helt klart, er følgende sætning.<br />
26