Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Bevis. Hermed et andet bevis: Lad
X1 = {x (1)
1 , x(1) 2
X2 = {x (2)
1 , x(2) 2
, . . .},
, . . .},
. (5.4)
Xn = {x (n)
1
.
, x(n) 2
, . . .},
Vi kan antage, at følgen X1, X2, . . . er numerabel, idet Sætning 5.7 klarer
det endelige tilfælde.
Hvis Xn er endelig, lader vi s(n) betegne nummeret p˚a det sidste element
i Xn.
Vi betragter delmængden X af × , defineret ved, at (n, m) ∈ ×
er et element i X, hvis og kun hvis m ≤ s(n) i det tilfælde, hvor Xn er
endelig (hvis Xn er uendelig, er der ingen betingelser p˚a m). Mængden X
er tællelig (Eksempel 5.3 kombineret med Sætning 5.5). Afbildningen f :
X → ∞ n=1 Xn givet ved f(n, m) = x (n)
m er surjektiv, s˚a tilbage st˚ar blot at
henvise til Sætning 5.6.
Eksempel 5.13. Hilberts Hotel (se internettet).
Eksempel 5.14. Et komplekst tal siges at være et algebraisk tal, s˚afremt
det er rod i en ligning
anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0 = 0, (5.5)
hvor n ∈ ∪ {0}, an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ og an = 0.
Ethvert rationalt tal er algebraisk. Som irrationale tal, der er algebraiske,
kan nævnes √ 2, 2 + √ 3 og 5 3 + 3√ 2 (Vis, at disse tal er algebraiske!).
Sætning 5.15. Mængden af algebraiske tal er tællelig.
Bevis. En bestemt ligning (5.5) har endelig mange rødder, nemlig højst n
indbyrdes forskellige rødder. Heraf følger, at mængden Aq best˚aende af alle
rødder i alle ligninger (5.5), for hvilke
|an| + |an−1| + . . . + |a1| + |a0| = q, (5.6)
q = 1, 2, 3, . . ., er endelig; der er jo kun endelig mange ligninger (5.5), der
opfylder betingelsen (5.6). Da
A =
∞
Aq,
q=1
er A en tællelig mængde (Sætning 5.12).
25