Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Bevis. Hermed et andet bevis: Lad<br />
X1 = {x (1)<br />
1 , x(1) 2<br />
X2 = {x (2)<br />
1 , x(2) 2<br />
, . . .},<br />
, . . .},<br />
. (5.4)<br />
Xn = {x (n)<br />
1<br />
.<br />
, x(n) 2<br />
, . . .},<br />
Vi kan antage, at følgen X1, X2, . . . er numerabel, idet Sætning 5.7 klarer<br />
det endelige tilfælde.<br />
Hvis Xn er endelig, lader vi s(n) betegne nummeret p˚a det sidste element<br />
i Xn.<br />
Vi betragter delmængden X af × , defineret ved, at (n, m) ∈ × <br />
er et element i X, hvis og kun hvis m ≤ s(n) i det tilfælde, hvor Xn er<br />
endelig (hvis Xn er uendelig, er der ingen betingelser p˚a m). Mængden X<br />
er tællelig (Eksempel 5.3 kombineret med Sætning 5.5). Afbildningen f :<br />
X → ∞ n=1 Xn givet ved f(n, m) = x (n)<br />
m er surjektiv, s˚a tilbage st˚ar blot at<br />
henvise til Sætning 5.6.<br />
Eksempel 5.13. Hilberts Hotel (se internettet).<br />
Eksempel 5.14. Et komplekst tal siges at være et algebraisk tal, s˚afremt<br />
det er rod i en ligning<br />
anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0 = 0, (5.5)<br />
hvor n ∈ ∪ {0}, an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ og an = 0.<br />
Ethvert rationalt tal er algebraisk. Som irrationale tal, der er algebraiske,<br />
kan nævnes √ 2, 2 + √ 3 og 5 3 + 3√ 2 (Vis, at disse tal er algebraiske!).<br />
Sætning 5.15. Mængden af algebraiske tal er tællelig.<br />
Bevis. En bestemt ligning (5.5) har endelig mange rødder, nemlig højst n<br />
indbyrdes forskellige rødder. Heraf følger, at mængden Aq best˚aende af alle<br />
rødder i alle ligninger (5.5), for hvilke<br />
|an| + |an−1| + . . . + |a1| + |a0| = q, (5.6)<br />
q = 1, 2, 3, . . ., er endelig; der er jo kun endelig mange ligninger (5.5), der<br />
opfylder betingelsen (5.6). Da<br />
A =<br />
∞<br />
Aq,<br />
q=1<br />
er A en tællelig mængde (Sætning 5.12).<br />
25