Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

Bemærkning 5.11. Eksempel 5.9 viser, at der er flere reelle tal end rationale. Vi kan endda konkludere, at der findes overtælleligt mange irrationale tal (hvordan det?). Men vi f˚ar ikke noget at vide om individuelle tal, s˚a vi er nødt til at søge tilflugt til andre metoder for at f˚a vist, at tal som √ 2, e og π er irrationale. At √ 2 er irrational, blev vist allerede ca. 500 f. Kr. af pythagoræikeren Hippasus fra Metapontum. Dermed modsagde han den pythagoræiske doktrin om, at alt kan beskrives ved hele tal. Overleveringen beretter, at han gjorde opdagelsen ombord p˚a et skib, og at de andre pythagoræere smed ham overbord for hans kætteri. At π er irrational, blev først vist af J. H. Lambert i 1761. Sætning 5.12. Lad X1, X2, . . . være en følge af tællelige mængder. Da er deres foreningsmængde ∞ n=1 Xn ogs˚a en tællelig mængde. Bevis. Vi nøjes med at skitsere et bevis. Lad X1 = {x (1) 1 , x(1) 2 X2 = {x (2) 1 , x(2) 2 , . . .}, , . . .}, . (5.2) Xn = {x (n) 1 . , x(n) 2 , . . .}, Vi skal opstille foreningsmængden ∞ n=1 Xn i en følge. Det gør vi efter skemaet 1 3 6 10 . . . ↗ ↗ ↗ ↗ 2 5 9 · . . . ↗ ↗ ↗ ↗ 4 8 · · . . . ↗ ↗ ↗ ↗ 7 · · · . . . ↗ ↗ ↗ ↗ · · · · . . . (5.3) Med denne ordning bliver de første otte elementer i foreningsmængden x (1) 1 , x(2) 1 , x(1) 2 , x(3) 1 , x(2) 2 , x(1) 3 , x(4) 1 , x(3) 2 . Hvis et element i foreningsmængden optræder flere gange i (5.2), skal vi kun medtage det første gang, vi møder det. Endvidere skal vi overspringe de pladser i (5.3), hvortil der ikke svarer noget element, enten det nu skyldes, at der st˚ar en endelig mængde i den p˚agældende række, eller at følgen af mængder er endelig. 24
Bevis. Hermed et andet bevis: Lad X1 = {x (1) 1 , x(1) 2 X2 = {x (2) 1 , x(2) 2 , . . .}, , . . .}, . (5.4) Xn = {x (n) 1 . , x(n) 2 , . . .}, Vi kan antage, at følgen X1, X2, . . . er numerabel, idet Sætning 5.7 klarer det endelige tilfælde. Hvis Xn er endelig, lader vi s(n) betegne nummeret p˚a det sidste element i Xn. Vi betragter delmængden X af × , defineret ved, at (n, m) ∈ × er et element i X, hvis og kun hvis m ≤ s(n) i det tilfælde, hvor Xn er endelig (hvis Xn er uendelig, er der ingen betingelser p˚a m). Mængden X er tællelig (Eksempel 5.3 kombineret med Sætning 5.5). Afbildningen f : X → ∞ n=1 Xn givet ved f(n, m) = x (n) m er surjektiv, s˚a tilbage st˚ar blot at henvise til Sætning 5.6. Eksempel 5.13. Hilberts Hotel (se internettet). Eksempel 5.14. Et komplekst tal siges at være et algebraisk tal, s˚afremt det er rod i en ligning anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0 = 0, (5.5) hvor n ∈ ∪ {0}, an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ og an = 0. Ethvert rationalt tal er algebraisk. Som irrationale tal, der er algebraiske, kan nævnes √ 2, 2 + √ 3 og 5 3 + 3√ 2 (Vis, at disse tal er algebraiske!). Sætning 5.15. Mængden af algebraiske tal er tællelig. Bevis. En bestemt ligning (5.5) har endelig mange rødder, nemlig højst n indbyrdes forskellige rødder. Heraf følger, at mængden Aq best˚aende af alle rødder i alle ligninger (5.5), for hvilke |an| + |an−1| + . . . + |a1| + |a0| = q, (5.6) q = 1, 2, 3, . . ., er endelig; der er jo kun endelig mange ligninger (5.5), der opfylder betingelsen (5.6). Da A = ∞ Aq, q=1 er A en tællelig mængde (Sætning 5.12). 25
Page 1 and 2: Om uendelighedsbegrebet Henrik Stet
Page 3 and 4: hvor man p˚a prikkernes plads tæn
Page 5 and 6: og B ⊆ C medfører, at A ⊆ C. D
Page 7 and 8: Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn, . . .
Page 9 and 10: 1.4 Om komplementærmængde N˚ar X
Page 11 and 12: (d) Vis, at ∁(lim sup An) = lim i
Page 13 and 14: funktioners definitionsomr˚ader er
Page 15 and 16: I Lemma 2.13 angiver vi nogle betin
Page 17 and 18: (b) En nødvendig og tilstrækkelig
Page 19 and 20: 4 Om endelige mængder Først lidt
Page 21 and 22: Sætning 5.5. Enhver delmængde af
Page 23: 2 −n 10 −6 omkring rn. S˚a vil
Page 27 and 28: Sætning 6.1 (Felix Bernsteins ækv
Page 29 and 30: Bevis. Det er klart, at |X| ≤ |P(
Page 31: (d) Vis, at 2 og har samme kardin

Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?