Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

Bemærk, at mængden {n ∈ | f(n) = y} ikke er tom, n˚ar y ∈ f(), s˚a vi ikke i definitionen af g tager minimum over den tomme mængde. Bemærk dernæst, at g : f() → er injektiv, idet mængderne {n ∈ | f(n) = y1} og {n ∈ | f(n) = y2} er disjunkte, n˚ar y1 = y2. Det følger (overvej dette!), at g er en bijektion af f(X) p˚a sit billede g(f(X)) ⊆ . Dette billede er en tællelig mængde (Sætning 5.5), dvs der findes en bijektion φ : g(f(X)) → I, hvor I enten er et interval [1, n] eller . Den sammensatte afbildning φ ◦ g : f(X) → I er en bijektion (som en sammensætning af bijektioner) af f(X) p˚a I. Heraf følger sætningen. Sætning 5.7. Enver endelig foreningsmængde af tællelige mængder er selv tællelig. Bevis. Vi nøjes med at bevise det tilfælde, hvor der er tale om to mængder X og Y . Det generelle tilfælde følger nemlig derefter umiddelbart ved induktion efter antallet af mængder (OTL). Vi overlader det til læseren at diskutere de tilfælde, hvor en eller begge mængder X og Y er endelige (det sidste er klaret i Øvelse 4.7), s˚a vi vil her alts˚a fra nu af antage, at b˚ade X og Y er numerable. Der findes derfor en bijektion f : → X af p˚a X og en bijektion g : → Y af p˚a Y . Vi definerer nu en afbildning F af \ {0} p˚a X ∪ Y ved f(n) for n > 0 F (n) = g(−n) for n < 0 Da \ {0} er tællelig (Sætning 5.5), er billedmængden F ( \ {0}) = X ∪ Y ogs˚a tællelig ifølge Sætning 5.6. Eksempel 5.8. Mængden af rationale tal er numerabel. Hermed et bevis for denne p˚astand: Vi minder først om, at de rationale tal er alle brøker m/n, hvor m og n er hele tal on n = 0. Mængden af rationale tal er ikke endelig, idet den numerable mængde er en delmængde af . Vi har i Eksempel 5.3 set, at × er numerabel. Idet afbildningen (p, q) ↦→ p/q er en surjektiv afbildning af × p˚a de positive rationale tal, er disse en tællelig mængde (Sætning 5.6). Det samme gælder s˚a mængden {r ∈ | r > 0} ∪ {0} (ifølge Sætning 5.7). Afbildningen r ↦→ −r er en bijektion af {r ∈ | r > 0} p˚a {r ∈ | r < 0}, s˚a de negative rationale tal er ogs˚a en tællelig mængde. Det ses s˚a fra Sætning 5.7, at foreningsmængden = {r ∈ | r > 0} ∪ {0} ∪ {r ∈ | r < 0} er tællelig. Da ikke er endelig, er dermed numerabel. En sidebemærkning: At de rationale tal er en tællelig mængde, kan give resultater, der i første omgang strider mod ens intuition. Betragt de rationale tal i enhedsintervallet ]0, 1[. Det er ifølge Sætning 5.5 en tællelig mængde, s˚a lad ]0, 1[ ∩ = {r1, r2, . . .}. Læg for ethvert n ∈ et interval In af længde 22
2 −n 10 −6 omkring rn. S˚a vil ]0, 1[ ∩ ⊆ ∞ n=1 In. Disse intervallers samlede længde er (ulighedstegn, idet der kan være overlap) ≤ ∞ n=1 2−n 10 −6 = 10 −6 . Det kan være svært at se, hvordan det kan være, at vi ikke f˚ar hele enhedsintervallet ]0, 1[ med, idet der jo i ethvert, selv nok s˚a lille, delinterval af ]0, 1[ ligger rationale tal. Eksempel 5.9. De reelle tal er ikke en tællelig mængde. Hermed et bevis for denne p˚astand. Det er indirekte, s˚a vi antager, at er tællelig, og fører denne antagelse til en modstrid. Ifølge Sætning 5.5 er enhver delmængde af tællelig under vores antagelse, s˚a det er nok at fremvise en delmængde, der ikke er tællelig. Som den p˚agældende delmængde tager vi de reelle tal, der kan skrives som uendelige decimalbrøker p˚a formen 0, c1c2 . . ., hvor det for ethvert n ∈ gælder, at cn = 3 eller cn = 4. Da det er en tællelig mængde, kan den skrives op p˚a en liste r (1) = 0, c (1) 1 c(1) 2 . . . c (1) n . . . r (2) = 0, c (2) 1 c(2) 2 . . . c (2) n . . . r (3) = 0, c (3) 1 c(3) 2 . . . c (3) n . . . . r (n) = 0, c (n) 1 c(n) 2 . . . c (n) n . . . . Ethvert element i vores delmængde optræder alts˚a p˚a listen ovenfor. Vi f˚ar den ønskede modstrid ved at finde et element r fra delmængden, der ikke optræder p˚a listen. Vi definerer ved, at cn = r = 0, c1c2 . . . cn . . . 4 hvis c (n) n = 3 3 hvis c (n) n = 4. (5.1) Lad nu n ∈ være vilk˚arlig. Vi ser, at r = r (n) , da de to tal r og r (n) jo er forskellige i hvert fald p˚a plads nr. n, idet den ene i kraft af konstruktionen (5.1) af r der har cifferet 3 og den anden cifferet 4. Da n ∈ er vilk˚arlig, gælder det for ethvert n ∈ , at r = r (n) . Dermed optræder r ikke p˚a listen. Bemærkning 5.10. Resultatet i Eksempel 5.9 blev først bevist af Cantor (7. december 1873). Det meget snedige argument i Eksempel 5.9 for overtælleligheden skyldes ogs˚a ham og kaldes derfor Cantors diagonalfølge-argument. Det er dog meget senere (1890). Cantors diagonalfølge-argument bruges ogs˚a i andre sammenhænge. 23
Page 1 and 2: Om uendelighedsbegrebet Henrik Stet
Page 3 and 4: hvor man p˚a prikkernes plads tæn
Page 5 and 6: og B ⊆ C medfører, at A ⊆ C. D
Page 7 and 8: Hvis C = {X1, X2, . . . , Xn, . . .
Page 9 and 10: 1.4 Om komplementærmængde N˚ar X
Page 11 and 12: (d) Vis, at ∁(lim sup An) = lim i
Page 13 and 14: funktioners definitionsomr˚ader er
Page 15 and 16: I Lemma 2.13 angiver vi nogle betin
Page 17 and 18: (b) En nødvendig og tilstrækkelig
Page 19 and 20: 4 Om endelige mængder Først lidt
Page 21: Sætning 5.5. Enhver delmængde af
Page 25 and 26: Bevis. Hermed et andet bevis: Lad X
Page 27 and 28: Sætning 6.1 (Felix Bernsteins ækv
Page 29 and 30: Bevis. Det er klart, at |X| ≤ |P(
Page 31: (d) Vis, at 2 og har samme kardin

Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?