Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Bemærk, at mængden {n ∈ | f(n) = y} ikke er tom, n˚ar y ∈ f(), s˚a vi
ikke i definitionen af g tager minimum over den tomme mængde. Bemærk
dernæst, at g : f() → er injektiv, idet mængderne {n ∈ | f(n) = y1}
og {n ∈ | f(n) = y2} er disjunkte, n˚ar y1 = y2. Det følger (overvej
dette!), at g er en bijektion af f(X) p˚a sit billede g(f(X)) ⊆ . Dette
billede er en tællelig mængde (Sætning 5.5), dvs der findes en bijektion
φ : g(f(X)) → I, hvor I enten er et interval [1, n] eller . Den sammensatte
afbildning φ ◦ g : f(X) → I er en bijektion (som en sammensætning af
bijektioner) af f(X) p˚a I. Heraf følger sætningen.
Sætning 5.7. Enver endelig foreningsmængde af tællelige mængder er selv
tællelig.
Bevis. Vi nøjes med at bevise det tilfælde, hvor der er tale om to mængder X
og Y . Det generelle tilfælde følger nemlig derefter umiddelbart ved induktion
efter antallet af mængder (OTL).
Vi overlader det til læseren at diskutere de tilfælde, hvor en eller begge
mængder X og Y er endelige (det sidste er klaret i Øvelse 4.7), s˚a vi vil her
alts˚a fra nu af antage, at b˚ade X og Y er numerable. Der findes derfor en
bijektion f : → X af p˚a X og en bijektion g : → Y af p˚a Y . Vi
definerer nu en afbildning F af \ {0} p˚a X ∪ Y ved
f(n) for n > 0
F (n) =
g(−n) for n < 0
Da \ {0} er tællelig (Sætning 5.5), er billedmængden F ( \ {0}) = X ∪ Y
ogs˚a tællelig ifølge Sætning 5.6.
Eksempel 5.8. Mængden af rationale tal er numerabel. Hermed et bevis
for denne p˚astand:
Vi minder først om, at de rationale tal er alle brøker m/n, hvor m og n
er hele tal on n = 0. Mængden af rationale tal er ikke endelig, idet den
numerable mængde er en delmængde af .
Vi har i Eksempel 5.3 set, at × er numerabel. Idet afbildningen
(p, q) ↦→ p/q er en surjektiv afbildning af × p˚a de positive rationale tal,
er disse en tællelig mængde (Sætning 5.6). Det samme gælder s˚a mængden
{r ∈ | r > 0} ∪ {0} (ifølge Sætning 5.7). Afbildningen r ↦→ −r er en
bijektion af {r ∈ | r > 0} p˚a {r ∈ | r < 0}, s˚a de negative rationale tal
er ogs˚a en tællelig mængde. Det ses s˚a fra Sætning 5.7, at foreningsmængden
= {r ∈ | r > 0} ∪ {0} ∪ {r ∈ | r < 0} er tællelig. Da ikke er
endelig, er dermed numerabel.
En sidebemærkning: At de rationale tal er en tællelig mængde, kan give
resultater, der i første omgang strider mod ens intuition. Betragt de rationale
tal i enhedsintervallet ]0, 1[. Det er ifølge Sætning 5.5 en tællelig mængde, s˚a
lad ]0, 1[ ∩ = {r1, r2, . . .}. Læg for ethvert n ∈ et interval In af længde
22