Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Sætning 5.5. Enhver delmængde af en tællelig mængde er selv tællelig.
Bevis. Lad M ⊆ N, hvor N er tællelig, dvs endelig eller numerabel. Idet
enhver delmængde af en endelig mængde selv er endelig (Proposition 4.5),
har vi det ønskede, n˚ar N er endelig. Tilbage er blot det tilfælde, hvor N er
numerabel.
Her ser vi først p˚a det specialtilfælde, hvor N = , s˚a M er en delmængde
af . Vi er færdige, hvis M er endelig, s˚a vi antager, at M ikke er
endelig. I s˚a fald definerer vi en afbildning f : → M p˚a følgende vis:
f(1) = det mindste element i M, alts˚a min M.
f(2) = min[M \ {f(1)}].
.
f(n + 1) = min[M \ ({f(1)} ∪ {f(2)} ∪ · · · ∪ {f(n)})]
.
Det er klart, at f(1) < f(2) < . . .. Processen kan ikke stoppe, for i s˚a fald
ville det for et eller andet n ∈ gælde, at M = {f(1)}∪{f(2)}∪· · ·∪{f(n)},
s˚a M var endelig.
Da f(1) < f(2) < . . ., er f injektiv. Det er ogs˚a klart, at vi f˚ar alle
elementer i M med. Det betyder, at f er en bijektion af p˚a M, dvs M er
numerabel. Vi har alts˚a vist sætningen, n˚ar M er en delmængde af .
Lad os herefter betragte det generelle tilfælde, hvor M er en delmængde
af en numerabel mængde N, der ikke nødvendigvis er . Lad φ : N →
være en bijektion; en s˚adan findes, ford i N er numerabel. Nu er φ(M) ⊆
φ(N) = . Ifølge det netop viste, er φ(M) tællelig, dvs enten endelig eller
numerabel.
Hvis φ(M) er tom, s˚a er M det ogs˚a, og dermed er M endelig. Hvis
φ(M) er endelig, men ikke tom, s˚a findes der en bijektion ψ : φ(M) → [1, n]
for et eller andet n ∈ . Som en sammensætning af bijektioner er ψ ◦ φ|M :
M → [1, n] selv en bijektion. Dermed er M endelig. Tilfældet, hvor φ(M) er
numerabel, behandles p˚a samme m˚ade som det endelige tilfælde; blot skal
[1, n] erstattes med .
Eksempelvis er mængden af primtal numerabel; der er jo uendelig mange
primtal.
Sætning 5.6. Lad f : X → Y . Hvis X er tællelig, s˚a er billedmængden
f(X) ogs˚a tællelig.
Bevis. Vi kan antage, at X = (Overvej dette!), s˚a det gør vi. Vi definerer
en afbildning g : f() → ved, at
g(y) = min{n ∈ | f(n) = y}, y ∈ f().
21