Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Øvelse 4.8. Lad A og B være to disjunkte, endelige mængder. Vis, at A∪B
er en endelig mængde, og at |A ∪ B| = |A| + |B|.
Øvelse 4.9. Lad x0 ∈ X, hvor X er en uendelig mængde. Vis, at X \ {x0}
er en uendelig mængde.
Øvelse 4.10. Lad f : X → Y , hvor X og Y er to endelige mængder med det
samme antal elementer. Vis, at f er injektiv, hvis og kun hvis f er surjektiv.
5 Om numerable mængder
Definition 5.1. Lad X være en mængde.
(a) X siges at være numerabel, s˚afremt X og har samme kardinalitet, dvs
at der findes en bijektion af X p˚a .
(b) X siges at være tællelig eller højst numerabel, s˚afremt X er endelig eller
numerabel.
(c) X siges at være overtællelig, s˚afremt X ikke er tællelig.
Numerabel oversættes til countably infinite eller countable p˚a engelsk.
Visse forfattere bruger ordet countable i betydningen tællelig, s˚a det er en
god idé at checke forfatterens definition af countable.
At en mængde X er tællelig, betyder billedligt, at dens elementer kan
stilles som en liste: Lad f : [1, n] → X eller f : → X være en bijektion,
alt efter om X er endelig eller uendelig. P˚a elementet f(1) klasker vi et
mærkat, hvorp˚a der st˚ar Nr. 1, p˚a f(2) klasker vi et mærkat, hvorp˚a der
st˚ar Nr. 2, osv. Ethvert element f˚ar et mærkat, da f er p˚a; og det f˚ar ikke
to forskellige, da f er 1 − 1. Hvis mængden er endelig, dvs vi har med
bijektionen f : [1, n] → X at gøre, bruger vi blot n mærkater. Hvis den er
uendelig, s˚a f˚ar vi brug for alle numrene 1, 2, . . .. Vi har hermed f˚aet sat
numre p˚a elementerne, s˚a vi kan stille dem op efter nummerorden p˚a en
liste.
Som et eksempel p˚a en numerabel mængde fremhæver vi
Eksempel 5.2. Mængden er numerabel.
Eksempel 5.3. × er numerabel. Dette blev vist i Øvelse 2.21, hvor der
endda blev angivet en eksplicit bijektion af × p˚a .
Eksempel 5.4. er numerabel. Idet vi definerer f : ∪ {0} → ved, at
f(0) = 0, og
f(2n − 1) = n og f(2n) = −n for n = 1, 2, . . . ,
f˚ar vi en bijektion af ∪{0} p˚a . Det overlades nu til læseren at konstruere
en bijektion af p˚a .
20