Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
i den. For at undg˚a en alt for monotont stammende terminologi (en mængde<br />
af mængder af ...) vil vi dog undertiden erstatte ordet ”mængde” med ord<br />
som ”samling”, ”familie”, ”system” eller lignende. Med ordene ”vel afgrænset”<br />
menes, at det nøje skal være fastlagt, hvilke elementer der tilhører mængden.<br />
N˚ar vi beskriver en mængde, dvs angiver dens elementer, skal det alts˚a af<br />
beskrivelsen helt klart fremg˚a, hvilke elementer der er indeholdt i mængden,<br />
og hvilke der ikke er det.<br />
Eksempler p˚a mængder er en flok duer, samlingen af stater i USA, mængden<br />
af alle primtal. Det er vigtigt at erkende, at en mængde kan være et<br />
element i en anden mængde, for det fænomen vil optræde gang p˚a gang<br />
under jeres matematikstudier. F.eks. er en linje en mængde af punkter; og<br />
mængden af alle linjer i planen er s˚aledes en mængde, hvis elementer selv er<br />
mængder.<br />
Begrebet mængde er en s˚a primitiv begrebsdannelse, at vi ikke vil søge<br />
at definere det ud fra andre begreber, men nøjes med den ovenfor givne<br />
beskrivelse, hvor vi benyttede udtryk som ”samling”, ”objekt”, ”afgrænset”,<br />
for at fremkalde den rigtige forestilling hos læseren.<br />
Lad nu X betegne en mængde. At x betegner et element, der tilhører X,<br />
skriver vi som følger: x ∈ X. Dette læses alts˚a som ”x tilhører X” eller ”x<br />
er indeholdt i X”. At x betegner et element, der ikke tilhører X, skriver vi<br />
som følger: x /∈ X.<br />
Terminologien p˚a engelsk er ”x is an element of X”, ”x is contained in<br />
X” eller ”x belongs to X”.<br />
Bemærkning 1.1. Det er en version af det græske bogstav epsilon, der indg˚ar<br />
i udtrykket ”x ∈ X”. Den benyttes s˚a ofte til at betegne ”indeholdt i”, at de<br />
fleste matematikere kun benytter den i denne mængdeteoretiske sammenhæng.<br />
De benytter ɛ eller ε, n˚ar de i andre sammenhænge har brug for det<br />
femte bogstav i det græske alfabet.<br />
Er X og Y mængder, s˚a betegner X = Y , at X og Y best˚ar af de samme<br />
elementer, alts˚a at x ∈ X ⇔ x ∈ Y .<br />
Bemærkning 1.2. Vi benytter en pil ⇒ i betydningen ”medfører”, og en<br />
dobbeltpil ⇔ i betydningen ”medfører og medføres af”.<br />
En mængde X angives undertiden p˚a følgende m˚ade: X = {. . .}, hvor<br />
man p˚a prikkernes plads tænker sig samtlige mængdens elementer anbragt.<br />
Hvis mængden f.eks. best˚ar af tallene 1, 3, 5, 7 og 9, betegner vi den med<br />
symbolet {1, 3, 5, 7, 9}. Da en mængde er karakteriseret alene ved de elementer,<br />
den indeholder, betegner symbolerne {1, 3, 5, 7, 9} og {9, 5, 3, 7, 1} den<br />
samme mængde. Dvs {1, 3, 5, 7, 9} = {9, 5, 3, 7, 1}, idet et lighedstegn mellem<br />
betegnelserne for to mængder tilkendegiver, at de to mængder best˚ar af<br />
de samme elementer.<br />
Man anvender ogs˚a en skrivem˚ade af følgende art:<br />
X = {x | . . .}, (1.1)<br />
2