Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

4 Om endelige mængder
Først lidt notation: For ethvert n ∈ lader vi [1, n] = {k ∈ | 1 ≤ k ≤ n}.
Definition 4.1. En mængde X siges at være endelig, hvis den er tom eller
hvis der findes en bijektion af X p˚a [1, n] for et eller andet n ∈ . En
mængde siges at være uendelig, hvis den ikke er endelig.
Proposition 4.2. Lad X være en endelig mængde, og lad m, n ∈ . Hvis
der findes bijektioner af X p˚a [1, m] og p˚a [1, n], s˚a er m = n.
Bevis. Vi kan antage, at X = [1, m]. Herefter benytter vi induktion efter
m.
Vi benytter Proposition 4.2 til at definere, hvad vi forst˚ar ved størrelsen
af en endelig mængde:
Definition 4.3. Lad X være en endelig mængde. Antal elementer i X er
0, hvis X = ∅, og ellers det éntydig bestemte n ∈ , for hvilket der findes
en bijektion af X p˚a [1, n]. Antal elementer i X betegnes med |X|.
Lemma 4.4. Hvis X er en endelig mængde og a /∈ X, s˚a er X ∪ {a} ogs˚a
endelig, og |X ∪ {a}| = |X| + 1.
Bevis. Induktion efter |X|.
Proposition 4.5. Lad A være en delmængde af en endelig mængde X. Da
er A selv endelig, og |A| ≤ |X|. Hvis A X (dvs A ⊆ X og A = X), s˚a er
|A| < |X|.
Bevis. Ang˚aende den første del af propositionen s˚a kan og vil vi antage, at
X har formen X = [1, n]. Den første del bevises herefter ved induktion, hvor
induktionsantagelsen er ”Hvis A ⊆ [1, n], s˚a er A endelig og |A| ≤ n”. Den
anden del er s˚a et korollar af Lemma 4.4.
Eksempel 4.6. Mængden N er en uendelig mængde. Det samme gælder
enhver mængde, der har som en delmængde.
Vi bemærker, at afbildningen n ↦→ n + 1 er en bijektion af p˚a \ {1},
s˚a og \ {1} har samme kardinalitet. Hvis er endelig, f˚ar vi af Lemma
4.4, at || = |\{1}|+1 = ||+1, hvilket giver modstriden 0 = 1. Dermed
har vi set, at er uendelig.
Den sidste p˚astand i Eksempel 4.6 følger af Proposition 4.5, kombineret
med, at N er uendelig, hvilket jo netop er vist.
Øvelse 4.7. (a) Lad A1 og A2 være endelige mængder. Vis, at A1∪A2 ogs˚a
er endelig.
(b) Lad A1, A2, . . . , An, hvor n ∈ , være (endelig mange) endelige mængder.
Vis, at A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ogs˚a er endelig.
19