Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

(b) f −1 er en bijektion af f(X) p˚a X, og (f −1 ) −1 (x) = f(x) for ethvert
x ∈ X.
(c) f −1 ◦ f = iX. Her opfatter vi f som en funktion fra X p˚a f(X).
(d) f ◦ f −1 = i f(X).
Bevis. OTL.
Øvelse 3.4. Lad f : X → Y .
(a) Lad g : Y → X opfylde, at g ◦ f = iX. Vis, at f er injektiv. Angiv f −1
udtrykt ved f og g.
(b) Lad h : Y → X opfylde, at f ◦ h = iY . Vis, at f er surjektiv.
Lad f : X → Y . I princippet er det misbrug af notationen, at vi skriver
f −1 for den inverse funktion. Vi har nemlig allerede indført en anden
betydning af f −1 , nemlig i forbindelse med begrebet urbillede. Læseren m˚a
derfor selv af sammenhængen tyde, hvilken mening symbolet f −1 har. Der
er selvfølgelig væsentlige forskelle p˚a de to betydninger, blandt andet kan
vi danne urbilleder for enhver funktion f, medens vi kun kan tale om den
inverse funktion, n˚ar f er injektiv. Derudover er urbillederne delmængder af
X, medens værdierne af den inverse funktion er elementer i X. Der er dog en
sammenhæng mellem de to betydninger for en injektiv funktion f : X → Y ,
idet
f −1 ({y}) = {f −1 (y)} for ethvert y ∈ f(X).
Vi overlader det til læseren at tyde, hvorn˚ar symbolet f −1 i ovenst˚aende
formel benyttes i forbindelse med begrebet urbillede, og hvorn˚ar det refererer
til den inverse funktion.
Af hensyn til en senere anvendelse (beviset for Bernsteins ækvivalenssætning
6.1) noterer vi følgende resultat om sammenhængen mellem de to
betydninger af f −1 :
Lemma 3.5. Lad g : Y → X være en injektiv afbildning af mængden Y ind i
mængden X. Lad B ⊆ g(Y ). Da er urbilledet g −1 (B) lig med billedmængden
{g −1 (b) | b ∈ B}, hvor g −1 ses som en afbildning fra g(Y ) ind i Y . Alts˚a
g −1 (B) = {g −1 (b) | b ∈ B}, (3.1)
hvor venstre side af (3.1) er urbilledet af B under g og højre side er billedet
af B ved funktionen g −1 .
Bevis. OTL.
18