Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

(b) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at f(A∩B) = f(A)∩f(B)
for alle delmængder A og B af X, er, at f er 1 − 1.
(c) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at f(X \ A) ⊆ Y \ f(A) for
alle delmængder A af X, er, at f er 1 − 1.
(d) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at Y \ f(A) ⊆ f(X \ A) for
alle delmængder A af X er, at f er surjektiv.
Øvelse 2.26. I Øvelse 1.18 indførte vi begrebet lukkede mængder i 2 og
. Lad F være en lukket delmængde af , og lad f : 2 → være en
kontinuert funktion. Vis, at f −1 (F ) er en lukket delmængde af 2 .
Øvelse 2.27. Lad f : X → Y . Idet {Yi}i∈I er en mængde af delmængder
af Y , skal man vise, at f −1 : P(Y ) → P(X) opfører sig eksemplarisk med
hensyn til foreningsdannelse og fællesmængdedannelse, dvs vise, at
f −1 (
Yi) =
f −1 (Yi), og (2.6)
i∈I
i∈I
f −1 (
Yi) =
f −1 (Yi) (2.7)
i∈I
i∈I
I Øvelse 2.24 har vi mødt disse formler i det specialtilfælde, hvor mængden
{Yi}i∈I kun har to elementer (kaldet Y1 og Y2 i Øvelse 2.24).
3 Om inverse funktioner
Lad f : X → Y være injektiv. Givet y ∈ f(X) findes der pr. definition af
billedmængden f(X) et element x ∈ X, s˚a f(x) = y. Injektiviteten sikrer
os, at der højst findes ét, s˚a alt i alt findes der netop ét x ∈ X, s˚a f(x) = y.
Dette fører os frem til definitionen af den inverse funktion til f.
Definition 3.1. N˚ar f : X → Y er injektiv, definerer vi en funktion f −1 :
f(X) → X ved, at f −1 (f(x)) = x for ethvert x ∈ X. Funktionen f −1 kaldes
for den inverse funktion til f.
En bijektion f : X → Y er injektiv, og f −1 : Y → X er en bijektion af
Y p˚a X.
Definition 3.2. Hvis X er en mængde, lader vi iX : X → X betegne den
identiske funktion p˚a X. Den er defineret ved, at iX(x) = x for ethvert
x ∈ X.
Lemma 3.3. Lad f : X → Y være injektiv. Da gælder:
(a) f er en bijektion af X p˚a f(X), n˚ar vi opfatter f som en funktion fra
X p˚a f(X).
17