Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
(b) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at f(A∩B) = f(A)∩f(B)<br />
for alle delmængder A og B af X, er, at f er 1 − 1.<br />
(c) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at f(X \ A) ⊆ Y \ f(A) for<br />
alle delmængder A af X, er, at f er 1 − 1.<br />
(d) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at Y \ f(A) ⊆ f(X \ A) for<br />
alle delmængder A af X er, at f er surjektiv.<br />
Øvelse 2.26. I Øvelse 1.18 indførte vi begrebet lukkede mængder i 2 og<br />
. Lad F være en lukket delmængde af , og lad f : 2 → være en<br />
kontinuert funktion. Vis, at f −1 (F ) er en lukket delmængde af 2 .<br />
Øvelse 2.27. Lad f : X → Y . Idet {Yi}i∈I er en mængde af delmængder<br />
af Y , skal man vise, at f −1 : P(Y ) → P(X) opfører sig eksemplarisk med<br />
hensyn til foreningsdannelse og fællesmængdedannelse, dvs vise, at<br />
f −1 ( <br />
Yi) = <br />
f −1 (Yi), og (2.6)<br />
i∈I<br />
i∈I<br />
f −1 ( <br />
Yi) = <br />
f −1 (Yi) (2.7)<br />
i∈I<br />
i∈I<br />
I Øvelse 2.24 har vi mødt disse formler i det specialtilfælde, hvor mængden<br />
{Yi}i∈I kun har to elementer (kaldet Y1 og Y2 i Øvelse 2.24).<br />
3 <strong>Om</strong> inverse funktioner<br />
Lad f : X → Y være injektiv. Givet y ∈ f(X) findes der pr. definition af<br />
billedmængden f(X) et element x ∈ X, s˚a f(x) = y. Injektiviteten sikrer<br />
os, at der højst findes ét, s˚a alt i alt findes der netop ét x ∈ X, s˚a f(x) = y.<br />
Dette fører os frem til definitionen af den inverse funktion til f.<br />
Definition 3.1. N˚ar f : X → Y er injektiv, definerer vi en funktion f −1 :<br />
f(X) → X ved, at f −1 (f(x)) = x for ethvert x ∈ X. Funktionen f −1 kaldes<br />
for den inverse funktion til f.<br />
En bijektion f : X → Y er injektiv, og f −1 : Y → X er en bijektion af<br />
Y p˚a X.<br />
Definition 3.2. Hvis X er en mængde, lader vi iX : X → X betegne den<br />
identiske funktion p˚a X. Den er defineret ved, at iX(x) = x for ethvert<br />
x ∈ X.<br />
Lemma 3.3. Lad f : X → Y være injektiv. Da gælder:<br />
(a) f er en bijektion af X p˚a f(X), n˚ar vi opfatter f som en funktion fra<br />
X p˚a f(X).<br />
17