Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

Øvelse 2.19. Vis, at afbildningen
f(x) =
er en bijektion af intervallet ]0, 1[ p˚a .
2x − 1
, x ∈ ]0, 1[,
2x(1 − x)
Øvelse 2.20. Forklar hvorfor multiplikation med 2 ikke definerer en bijektion
af p˚a , n˚ar multiplikationen dog definerer en bijektion af p˚a
.
Øvelse 2.21. Vis, at afbildningen (m, n) ↦→ 2 m−1 (2n − 1) er en bijektion af
× p˚a .
Øvelse 2.22. Bevis de følgende p˚astande om sammensætning af funktioner:
(a) Sammensætningen af to injektioner er en injektion.
(b) Sammensætningen af to surjektioner er en surjektion.
(c) Sammensætningen af to bijektioner er en bijektion.
Øvelse 2.23. Lad X, Y og Z være mængder, lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y , og lad g : Y → Z være en afbildning af Y ind i Z.
Lad h = g ◦ f.
Afgør, hvilke af de følgende 4 p˚astande, der er sande. Giv beviser for de
sande p˚astande og modeksempler for de falske.
(a) Hvis h er injektiv, s˚a er f injektiv.
(b) Hvis h er injektiv, s˚a er g injektiv.
(c) Hvis h er surjektiv, s˚a er f surjektiv.
(d) Hvis h er surjektiv, s˚a er g surjektiv.
Øvelse 2.24. Lad f : X → Y være en afbildning af X ind i Y . Lad X1 og
X2 være delmængder af X, og lad Y1 og Y2 være delmængder af Y .
Afgør, hvilke af de følgende 4 p˚astande, der er sande. Giv beviser for de
sande p˚astande og modeksempler for de falske.
f(X1 ∪ X2) = f(X1) ∪ f(X2) (2.2)
f(X1 ∩ X2) = f(X1) ∩ f(X2) (2.3)
f −1 (Y1 ∪ Y2) = f −1 (Y1) ∪ f −1 (Y2) (2.4)
f −1 (Y1 ∩ Y2) = f −1 (Y1) ∩ f −1 (Y2) (2.5)
Øvelse 2.25. Idet f : X → Y skal man vise følgende:
(a) Hvis g : Y → X og g ◦ f er identiteten p˚a X, dvs (g ◦ f)(x) = x for
ethvert x ∈ X, s˚a er f injektiv og g er surjektiv.
16