Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
I Lemma 2.13 angiver vi nogle betingelser, der kan være nyttige, n˚ar man<br />
skal afgøre, om en given afbildning er injektiv.<br />
Lemma 2.13. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en<br />
afbildning af X ind i Y . Da er følgende fire udsagn ækvivalente:<br />
(a) f er en injektion.<br />
(b) For alle x1, x2 ∈ X gælder, at hvis f(x1) = f(x2), s˚a er x1 = x2.<br />
(c) For alle x1, x2 ∈ X gælder, at hvis x1 = x2, s˚a er f(x1) = f(x2).<br />
(d) For ethvert y ∈ Y best˚ar urbilledet f −1 ({y}) af højst ét element.<br />
Bevis. OTL.<br />
Eksempel 2.14. (a) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 3 , x ∈ ,<br />
er b˚ade surjektiv og 1 − 1.<br />
(b) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 2 , x ∈ , er hverken surjektiv<br />
eller 1 − 1.<br />
(c) Funktionen f : → givet ved f(x) = arctan x, x ∈ , er 1 − 1, men<br />
ikke p˚a.<br />
(d) Funktionen f : → givet ved f(x) = x sin x, x ∈ , er p˚a, men ikke<br />
1 − 1.<br />
Eksempel 2.15. Lad I være et interval. Lad f : I → være strengt<br />
voksende, dvs<br />
Da er f injektiv.<br />
[ x, y ∈ I og x < y ] ⇒ f(x) < f(y).<br />
Definition 2.16. Lad X0 være en delmængde af X. Ved inklusionsafbildningen<br />
af X0 ind i X forst˚as afbildningen i : X0 → X givet ved i(x) = x for<br />
x ∈ X0.<br />
En inklusionsafbildning er injektiv.<br />
Definition 2.17. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en<br />
afbildning af X ind i Y . Afbildningen f siges at være bijektiv, s˚afremt den<br />
er b˚ade surjektiv og injektiv. En bijektiv afbildning kaldes for en bijektion.<br />
Definition 2.18. To mængder X og Y siges at have samme kardinalitet,<br />
s˚afremt der findes en bijektion f : X → Y af X p˚a Y .<br />
15