Om uendelighedsbegrebet - Aarhus Universitet

I Lemma 2.13 angiver vi nogle betingelser, der kan være nyttige, n˚ar man
skal afgøre, om en given afbildning er injektiv.
Lemma 2.13. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y . Da er følgende fire udsagn ækvivalente:
(a) f er en injektion.
(b) For alle x1, x2 ∈ X gælder, at hvis f(x1) = f(x2), s˚a er x1 = x2.
(c) For alle x1, x2 ∈ X gælder, at hvis x1 = x2, s˚a er f(x1) = f(x2).
(d) For ethvert y ∈ Y best˚ar urbilledet f −1 ({y}) af højst ét element.
Bevis. OTL.
Eksempel 2.14. (a) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 3 , x ∈ ,
er b˚ade surjektiv og 1 − 1.
(b) Funktionen f : → givet ved f(x) = x 2 , x ∈ , er hverken surjektiv
eller 1 − 1.
(c) Funktionen f : → givet ved f(x) = arctan x, x ∈ , er 1 − 1, men
ikke p˚a.
(d) Funktionen f : → givet ved f(x) = x sin x, x ∈ , er p˚a, men ikke
1 − 1.
Eksempel 2.15. Lad I være et interval. Lad f : I → være strengt
voksende, dvs
Da er f injektiv.
[ x, y ∈ I og x < y ] ⇒ f(x) < f(y).
Definition 2.16. Lad X0 være en delmængde af X. Ved inklusionsafbildningen
af X0 ind i X forst˚as afbildningen i : X0 → X givet ved i(x) = x for
x ∈ X0.
En inklusionsafbildning er injektiv.
Definition 2.17. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X → Y være en
afbildning af X ind i Y . Afbildningen f siges at være bijektiv, s˚afremt den
er b˚ade surjektiv og injektiv. En bijektiv afbildning kaldes for en bijektion.
Definition 2.18. To mængder X og Y siges at have samme kardinalitet,
s˚afremt der findes en bijektion f : X → Y af X p˚a Y .
15